M = a/a+b + b/b+c + c/c+a

M > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c

M > a+b+c/a+b+c

M > 1 (1)

Áp dụng a/b < 1 => a/b < a+m/b+m (a,b,m thuộc N*)

M = a/a+b + b/b+c + c/c+a

M < a+c/a+b+c + b+c/a+b+c + b+c/a+b+c

M < 2.(a+b+c)/a+b+c

M < 2 (2)

Từ (1) và (2) => 1 < M < 2, không là số nguyên ( đpcm)

*Ta có :

 a/a+b > a/a+b+c (1)

 b/b+c > b/a+b+c (2)

 c/c+a > c/a+b+c (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra:

 a/a+b + b/b+c + c/c+a > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c = a+b+c/a+b+c = 1 (a)

*Ta có công thức: 

 - Với a; b và c thuộc N* ta có thể rút ra:

 a/b < a+c/b+c

 Áp dụng công thức trên, ta có:

 a/a+b < a+c/a+b+c (4)

 b/b+c < b+a/a+b+c (5)

 c/c+a < c+b/a+b+c (6)

Từ (4); (5) và (6) suy ra:

 a/a+b + b/b+c + c/c+a < a+c/a+b+c + b+a/a+b+c + c+b/a+b+c = a+c+b+a+c+b/a+b+c = 2a+2b+2c/a+b+c = 2(a+b+c)/a+b+c = 2 (b)

Từ (a) và (b) suy ra:

 1 < a/a+b + b/b+c + c/c+a < 2

=> 1 < M < 2

=> M không phải là số nguyên.

Vậy M không phải là số nguyên.

#)Giải :

Ta có : \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)

Lại có : \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow1< M< 2\)

\(\Rightarrow\) M không phải là số nguyên 

Vì a,b,c, > 0 nên

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)(1)

\(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)(2)

\(\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)(3)

Cộng từng vế của (1), (2), (3) suy ra \(1< M< 2\)

Vậy M không là số nguyên

Gợi ý : CM : a < m < b

Với m , b là 2 số liêm tiếp

nhầm : m,b sai nha là a,b

ta có\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{c+a+b}=1\)

ta lại có tương tự M<2

suy ra Mko ơphair số nguyên

10 năm rồi các anh chị

tick tui cái đi công chúa

mẹ thằng cu HẢi, kiếm chuyện à

Ta có:

\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M>\frac{a+b+c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M>1\) (1)

Ta có:

\(\frac{a}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}< 1\Rightarrow\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M< 2\) (2)

Từ (1) và (2) => 1 < M < 2

=> M không phải là một số nguyên dương (đpcm)

CM :        1 < M < 2 

Gia su : a/a+b > a/a+b+c  (a,b,c THUOC Z )

             b/b+c > b/b+c+a

             c/c+a > c/c+a+b

=> M > 1            (1)

Mat khac , ta lai co : a/a+c < 1 => a/a+b < a+c/a+b+c 

                                                    b/b+c < b+a/b+c+a

                                                    c/c+a < c+b/c+a+b

=> M < 2           (2)

Tu (1) VA (2) => 1 < M < 2 => M ko phai la so nguyen.

Dung 1000000000% luon do, bai nay thay giao mk chua rui!!!

********** K MK NHA!!!

Ta có:

\(\frac{a}{a+b}\)>\(\frac{a}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}\)>\(\frac{b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}\)>\(\frac{c}{a+b+c}\)

Cộng theo vế ,ta được:

\(\frac{a}{a+b}\)+\(\frac{b}{b+c}\)+\(\frac{c}{c+a}\)>\(\frac{a}{a+b+c}\)+\(\frac{b}{a+b+c}\)+\(\frac{c}{a+b+c}\)

=> M> \(\frac{a+b+c}{a+b+c}\)=1

=> M>1 (1)

Ta lại có:

\(\frac{a}{a+b}\)<\(\frac{a+c}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}\)<\(\frac{b+a}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}\)<\(\frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng theo vế,ta được:

\(\frac{a}{a+b}\)+\(\frac{b}{b+c}\)+\(\frac{c}{c+a}\)<\(\frac{a+c}{a+b+c}\)+\(\frac{b+a}{a+b+c}\)+\(\frac{c+a}{a+b+c}\)

=> M<\(\frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}\)=\(\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}\)=2

=> M<2 (2)

Từ (1) và (2) => 1<M<2.

=> M không phải là số nguyên (đpcm)

Ta có: M=(a/a+b)+(b/b+c)+(c/c+a)=(a+b+c)/(a+b+b+c+c+a)=(a+b+c)/2(a+b+c)=1/2

=>M=1/2,mà 1/2 không thuôc Z

Vậy M không phải là số nguyên