=>y(x-7)=3(7-x)

=>y(x-7)-3(7-x)=0

=>(x-7)(y+3)=0

=>x=7 và y=-3

Câu 4:

5x + 7y = 112

5(x+ y) = 112 - 2y

5(x + y) = 2(56 - y)

\(\begin{cases}x+y=2\\ 56-y=5\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=2\\ y=56-5\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=2-y\\ y=51\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=2-51\\ y=51\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=-49\\ y=51\end{cases}\)

Vậy (x ; y) = (-49; 51)

1)<=> \(\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+4x+4\right)-7=0\)

=> \(\left(x+1\right)^2-\left(y+2\right)^2=7\)

\(\Rightarrow\left(x+1-y-2\right)\left(x+1+y+2\right)=7\)

\(\left(x-y-1\right)\left(x+y+3\right)=7\)

vì x;y là số nguyên dương=> \(x;y\ge1\Rightarrow x+y+3\ge1+1+3=5\)

=> \(x+y+3=7\Rightarrow x+y=4\)

\(x-y-1=1\Rightarrow x-y=2\)

cộng hai phương trình ta có:

=> \(\left(x+y\right)+\left(x-y\right)=4+2\)

=> \(2x=6\)

=> x=3

=> y=4-3=1

2)<=> \(\left(x^2+xy+2x\right)+\left(2xy+2y^2+4y\right)+\left(x+y+2\right)=17\)

=> \(x\left(x+y+2\right)+2y\left(x+y+2\right)+1\left(x+y+2\right)=17\)

=> \(\left(x+y+2\right)\left(x+2y+1\right)=17\)

Bước 1: Nhân cả hai tầm nhìn của phương pháp với -1 để chuyển các hạng tử âm sang tầm nhìn bên phải của dấu bằng, ta được:

9y² - 3x² - 4z² - 6y²z² = -243

Bước 2: Tách biến và rút gọn chúng lại:

3x² - 9y² + 6y²z² = 4z² + 243

Bước 3: Áp dụng bổ đề Fermat để giải phương trình:

Ta có:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Áp dụng công thức trên, ta có:

(2z - 3y)² + 3x² = (13)²

Vì x, y, z là các nguyên dương nên ta có 2z - 3y > 0, do đó ta có:

2z - 3y = 13

Như vậy, ta có hệ thống phương tiện:

2z - 3y = 13
3x² = 169 - (2z - 3y)²

Bước 4: Giải hệ phương trình:

Với 2z - 3y = 13, ta có thể giải được y và z theo x:

y = (2z - 13)/3

z = (3y + 13)/2

Thay vào phương trình 3x² = 169 - (2z - 3y)², ta được:

3x² = 169 - (2((3y + 13)/2) - 3y)² = 169 - 49y²

Từ đó, ta có:

y² = (169 - 3x²)/49

y là số nguyên dương, do đó chỉ có một số giá trị của x có thể làm cho y là số nguyên, đó là khi 169 - 3x² chia hết cho 49. Ta có:

3x² = 169 - 49k (với k là một số nguyên)

x² + 16k/3 = 169/3

Vì x là một số nguyên dương, nên 169/3 - 16k/3 phải là một số chính phương. Kiểm tra và tìm được:

169/3 - 16k/3 = 64

k = 15

Thay k = 15 vào phương trình 3x² = 169 - 49k, ta được:

x² = 64

x = 8

Bước 5: Kết luận:

Do đó các bộ số nguyên dương đối với phương trình là: (x, y, z) = (8, 1, 5) hoặc (x, y, z) = (8, 1, -6).

Do \(243\) ; \(3x^2-9y^2+6y^2z^2\) đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow4z^2\) chia hết cho 3

\(\Rightarrow z\) chia hết cho 3 \(\Rightarrow z=3z_1\) với \(z_1\) nguyên dương

\(\Rightarrow3x^2-9y^2+36z^2_1+54y^2z_1^2=243\)

\(\Rightarrow x^2-3y^2+12z_1^2+18y^2z_1^2=81\)

Lý luận tương tự ta được \(x=3x_1\) với \(x_1\) nguyên dương

\(\Rightarrow9x_1^2-3y^2+12z_1^2+18y^2z_1^2=81\)

\(\Rightarrow3x_1^2-y^2+4z_1^2+6y^2z_1^2=27\) (1)

\(\Rightarrow3x_1^2+4z_1^2+y^2\left(6z_1^2-1\right)=27\)

Do \(x_1;z_1\) nguyên dương \(\Rightarrow x_1;z_1\ge1\)

\(\Rightarrow3x_1^2+4z_1^2+y^2\left(6z_1^2-1\right)\ge3+4+5y^2=7+5y^2\)

\(\Rightarrow7+5y^2\le27\Rightarrow y^2\le4\Rightarrow y\le2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

- Với \(y=1\) thế vào (1) 

\(\Rightarrow3x_1^2+10z_1^2=28\)

Nếu \(z_1\ge2\Rightarrow3x_1^2+10z_1^2>28\) (ktm) \(\Rightarrow z_1=1\Rightarrow3x_1^2=18\) ko tồn tại \(x_1\) nguyên thỏa mãn

- Với \(y=2\) thế vào (1) \(\Rightarrow3x_1^2+28z_1^2=31\Rightarrow x_1=z_1=1\) 

\(\Rightarrow x=z=3\)

Vậy có đúng 1 bộ số nguyên dương thỏa mãn là \(\left(x;y;z\right)=\left(3;2;3\right)\)

xy + 3x - 7y = 21

=> xy + 3x - 7y - 21 = 0

=> x.(y + 3) - 7.(y + 3) = 0

=> (y + 3) . (x - 7) = 0

+) y + 3 = 0 => y = -3; x thuộc Z

+) x - 7 = 0 => x = 7; y thuộc Z

+) y + 3 = x - 7 = 0 => y = -3; x = 7