cho a,b,c dương thoả mãn a+b+c < hoặc =1
chứng minh
1/a2+2ab +1/b2+2ac +1/c2+2ab > hoặc =9
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
23 tháng 6
a)
$A=\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}$
$\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a(b^2+1)+b(c^2+1)+c(a^2+1)}\qquad (\text{Cauchy Engel})$
$=\dfrac{1}{ab^2+bc^2+ca^2+1}$
$\ge \dfrac{1}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+1}$
$=\dfrac{1}{(a+b+c)(ab+bc+ca)+1}
$\ge \dfrac{1}{\frac13+1}$ $=\dfrac34$
Dấu bằng khi $a=b=c=\dfrac13$.
$\boxed{A_{\min}=\dfrac34}$
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
23 tháng 6
b)
$B=\dfrac{a}{ab+2c}+\dfrac{b}{bc+2a}+\dfrac{c}{ca+2b}$
$\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a(ab+2c)+b(bc+2a)+c(ca+2b)}$
$=\dfrac4{a^2b+b^2c+c^2a+2(ab+bc+ca)}$
Lại có $a^2b+b^2c+c^2a\le (a+b+c)(ab+bc+ca)$$=2(ab+bc+ca)$
Nên $B\ge \dfrac4{4(ab+bc+ca)}$$=\dfrac1{ab+bc+ca}$
$\ge \dfrac1{\frac{(a+b+c)^2}{3}}$ $=\dfrac34$
Dấu bằng khi $a=b=c=\dfrac23$.
$B_{\min}=\dfrac34$
TD
1
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
3 tháng 4 2023
Sửa đề: 1+a^2;1+b^2;1+c^2
\(\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+c+ac}}=\sqrt{\dfrac{a}{a+b}\cdot\dfrac{a}{a+c}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\)
\(\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{b+a}\right)\)
\(\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\)
=>\(A< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{3}{2}\)
TL
0
V
V
7 tháng 3 2020
\(VT\ge\frac{9}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
9 tháng 12 2021
Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác nên \(a+b>c\Leftrightarrow ac+bc>c^2\)
CMTT: \(ab+bc>b^2;ab+ac>a^2\)
Cộng vế theo vế \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< ab+bc+ca+ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< 2ab+2bc+2ca\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca< 0\)
NT
2
KN
18 tháng 2 2020
Ta có: \(a\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)+b\left(a^2-1\right)\left(c^2-1\right)+c\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\)
\(=a\left(b^2c^2-b^2-c^2+1\right)+b\left(a^2c^2-a^2-c^2+1\right)\)
\(+c\left(a^2b^2-a^2-b^2+1\right)\)
\(=ab^2c^2-ab^2-ac^2+a+ba^2c^2-a^2b-bc^2+b\)
\(+ca^2b^2-a^2c-b^2c+c\)
\(=\left(ab^2c^2+ba^2c^2+ca^2b^2\right)+\left(a+b+c\right)\)
\(-\left(ab^2+ac^2+a^2b+bc^2+a^2c+b^2c\right)\)
\(=abc\left(bc+ac+ab\right)+\left(a+b+c\right)\)\(-\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\right]\)
\(=abc\left(bc+ac+ab\right)+\left(a+b+c\right)+3abc\)\(-\left[ab\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)+ca\left(a+b+c\right)\right]\)
\(=abc\left(bc+ac+ab\right)+\left(a+b+c\right)+3abc\)\(-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=abc\left(bc+ac+ab\right)+abc+3abc\)\(-abc\left(ab+bc+ca\right)=4abc\)
Vậy \(a\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)+b\left(a^2-1\right)\left(c^2-1\right)+c\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)=4abc\)(đpcm)
Áp dụng BĐT Svac - xơ:
\(\frac{1}{a^2+2ab}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\)\(=\frac{1^2}{a^2+2ab}+\frac{1^2}{b^2+2ac}+\frac{1^2}{c^2+2ab}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)(Vì \(a+b+c\le1\))
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\))