Dựng \(AH\) vuông góc \(BC\). Đặt \(AB=x\Rightarrow AH=x.\sin60^0=\dfrac{x\sqrt{3}}{2};BH=x\cos60^0=\dfrac{x}{2}\)

\(\Rightarrow HC=BC-BH=8-\dfrac{x}{2};AC=12-x\)

Tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\Rightarrow AC^2=AH^2+HC^2\Rightarrow\left(12-x\right)^2=\dfrac{3x^2}{4}+\left(8-\dfrac{x}{2}\right)^2\)

Giải phương trình trên ta được \(x=5\).

Vậy \(AB=5cm\).

a) Xét ΔABC có 

BA<BC(gt)

mà góc đối diện với cạnh BA là \(\widehat{ACB}\)

và góc đối diện với cạnh BC là \(\widehat{BAC}\)

nên \(\widehat{BAC}>\widehat{ACB}\)(Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)

b) Xét ΔABH vuông tại H và ΔAMH vuông tại H có

HB=HM(gt)

AH chung

Do đó: ΔABH=ΔAMH(hai cạnh góc vuông)

Suy ra: BA=MA(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔBAM có BA=MA(cmt)

nên ΔBAM cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔBAM cân tại A có \(\widehat{B}=60^0\)(gt)

nên ΔBAM đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

Áp dụng định lý Sin trong tam giác ABC ta có:

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 2√3.

a: Xét ΔBAD có BA=BD và \(\hat{ABD}=60^0\)

nên ΔBAD đều

b: ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ACB}=90^0-60^0=30^0\)

BI là phân giác của góc ABC

=>\(\hat{ABI}=\hat{CBI}=\frac12\cdot\hat{ABC}=30^0\)

Xét ΔICB có \(\hat{IBC}=\hat{ICB}=30^0\)

nên ΔIBC cân tại I

c: Xét ΔBAI và ΔBDI có

BA=BD

\(\hat{ABI}=\hat{DBI}\)

BI chung

Do đó: ΔBAI=ΔBDI

=>\(\hat{BAI}=\hat{BDI}\)

=>\(\hat{BDI}=90^0\)

=>ID⊥BC tại D

ΔIBC cân tại I

mà ID là đường cao

nên D là trung điểm của BC

Trên BC lấy điểm E sao cho \(AB=BE\)

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta ABD=\Delta EBD\left(c.g.c\right)\)

Do đó \(\widehat{BAC}=\widehat{BED}=80^0\)

Mà \(\widehat{BED}\) là góc ngoài tam giác DEC

\(\Rightarrow\widehat{BED}=\widehat{EDC}+\widehat{BCA}\\ \Rightarrow80^0=\widehat{EDC}+40^0\\ \Rightarrow\widehat{EDC}=40^0\Rightarrow\widehat{EDC}=\widehat{ECD}\left(=40^0\right)\\ \Rightarrow\Delta EDC.cân.tại.E\Rightarrow DE=EC\)

Vậy \(AB+AD=BE+EC=BC\)

a: Xét ΔABD vuông tại A và ΔEBD vuông tại E có

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

Do đó: ΔABD=ΔEBD

b: Ta có: ΔABD=ΔEBD

nên BA=BE

hay ΔBAE cân tại B

mà \(\widehat{ABE}=60^0\)

nên ΔBAE đều

a: Xét ΔABD vuông tại A và ΔEBD vuông tại E có

\(\stackrel\frown{ABD}=\stackrel\frown{EBD}\)

\(BD\left(chung\right)\)

=> ΔABD=ΔEBD(c.h-gn)

:Ta có: ΔABD=ΔEBD(cmt)

nên BA=BE

=> ΔBAE cân tại B

mà \(\widehat{ABE}=60^o\)

=> ΔBAE đều(t/c tam giác cân)