https://giaibaitapvenha.blogspot.com/2017/12/en-voi-do-homework-for-you-e-trai.html

a: Xét ΔABM vuông tại A và ΔNBM vuông tại N có

BM chung

\(\widehat{ABM}=\widehat{NBM}\)

Do đó: ΔABM=ΔNBM

=>\(\widehat{AMB}=\widehat{NMB}\)

=>MB là phân giác của góc AMN

b: Ta có: NK//BM

=>\(\widehat{BMN}=\widehat{KNM}\)(hai góc so le trong) và \(\widehat{MKN}=\widehat{AMB}\)(hai góc đồng vị)

mà \(\widehat{NMB}=\widehat{AMB}\)

nên \(\widehat{KNM}=\widehat{MKN}\)

=>ΔMKN cân tại M

a: Xét ΔABM vuông tại A và ΔNBM vuông tại N có

BM chung

\(\widehat{ABM}=\widehat{NBM}\)

Do đó: ΔABM=ΔNBM

Suy ra: \(\widehat{AMB}=\widehat{NMB}\)

hay MB là tia phân giác của góc AMN

b: Ta có: MK//BM

nên \(\widehat{BMN}=\widehat{MNK}\)

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Lấy điểm \(R\in AB|\angle BCR=\angle ABN\). $CR$ cắt $BM$ tại $K$ và $BN$ tại $E$

Khi đó:

\(\left\{\begin{matrix} \angle BCR=\angle ABN\\ \angle RBC=\angle NAB=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ABN\sim \triangle BCR\)

\(\Rightarrow 1=\frac{AB}{BC}=\frac{AN}{BR}\Rightarrow AN=BR(1)\)

Từ hai tam giác đồng dạng ta cũng suy ra \(\angle ANE=\angle ANB=\angle CRB=\angle ERB\)

Xét tứ giác $AREK$ có \(\angle A+\angle ARE+\angle ANE+\angle NER=360^0\)

\(\Leftrightarrow 90^0+\angle ARE+\angle ERB+\angle NER=360^0\)

\(\Leftrightarrow 90^0+180^0+\angle NER=360^0\Rightarrow \angle NER=90^0\rightarrow BE\perp RK\)

Tam giác $RBK$ có $BE$ vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên $RBK$ là tam giác cân tại $B$

\(\Rightarrow BR=BK(2)\). Từ \((1),(2)\Rightarrow AN=BK\)

Tam giá $RBK$ cân \(\Rightarrow \angle BRK=\angle BKR=\angle MKC\)

Mà \(\angle BRK=\angle KCM\) (so le trong) nên \(\angle MKC=\angle KCM\Rightarrow \triangle KMC\) cân tại $M$

\(\Rightarrow CM=MK\)

Do đó, \(AN+CM=BK+MK=BM\) (đpcm)

\(\)

Trên cạnh AE, lấy K sao cho AK=AD

mà AD=AB

nên AK=AB

Xét ΔADM và ΔAKM có

AD=AK

\(\hat{DAM}=\hat{KAM}\)

AM chung

Do đo: ΔADM=ΔAKM

=>\(\hat{ADM}=\hat{AKM}\)

=>\(\hat{AKM}=90^0\)

=>MK⊥AE tại K

Xét ΔAKN và ΔABN có

AK=AB

\(\hat{KAN}=\hat{BAN}\)

AN chung

Do đó: ΔAKN=ΔABN

=>\(\hat{AKN}=\hat{ABN}\)

=>\(\hat{AKN}=90^0\)

=>NK⊥AE tại K

ta có; NK⊥AE

MK⊥AE
mà NK,MK có điểm chung là K

nên N,M,K thẳng hàng

=>AE⊥MN tại K