11:

n^3-n^2+2n+7 chia hết cho n^2+1

=>n^3+n-n^2-1+n+8 chia hết cho n^2+1

=>n+8 chia hết cho n^2+1

=>(n+8)(n-8) chia hết cho n^2+1

=>n^2-64 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1-65 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1 thuộc Ư(65)

=>n^2+1 thuộc {1;5;13;65}

=>n^2 thuộc {0;4;12;64}

mà n là số tự nhiên

nên n thuộc {0;2;8}

Thử lại, ta sẽ thấy n=8 không thỏa mãn

=>\(n\in\left\{0;2\right\}\)

Bài 12.

Ta xét số dư của $n$ khi chia cho 4 (vì lũy thừa của các số 2, 3, 4 khi chia cho 5 có tính chất chu kỳ lặp lại theo chu kỳ 4).

Đặt $n = 4k + r$ với $k \in \mathbb{N}$ và $r \in \{0; 1; 2; 3\}$.

Ta xét các trường hợp của $r$:

Trường hợp 1: $r = 0 \Rightarrow n = 4k$ ($k \in \mathbb{N}^*$)

$\Rightarrow A \equiv 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \pmod 5$ (Không chia hết cho 5).

- $1^n = 1^{4k} \equiv 1 \pmod 5$

- $2^n = 2^{4k} = 16^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod 5$

- $3^n = 3^{4k} = 81^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod 5$

- $4^n = 4^{4k} = 256^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod 5$

Trường hợp 2: $r = 1 \Rightarrow n = 4k + 1$ ($k \in \mathbb{N}$)

$\Rightarrow A \equiv 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \equiv 0 \pmod 5$ (Chia hết cho 5).

- $1^n \equiv 1 \pmod 5$

- $2^n = 2^{4k+1} = 2^{4k} \cdot 2 \equiv 1 \cdot 2 = 2 \pmod 5$

- $3^n = 3^{4k+1} = 3^{4k} \cdot 3 \equiv 1 \cdot 3 = 3 \pmod 5$

- $4^n = 4^{4k+1} = 4^{4k} \cdot 4 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod 5$

Trường hợp 3: $r = 2 \Rightarrow n = 4k + 2$ ($k \in \mathbb{N}$)

$\Rightarrow A \equiv 1 + 4 + 4 + 1 = 10 \equiv 0 \pmod 5$ (Chia hết cho 5).

- $1^n \equiv 1 \pmod 5$

- $2^n = 2^{4k+2} = 2^{4k} \cdot 4 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod 5$

- $3^n = 3^{4k+2} = 3^{4k} \cdot 9 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod 5$

- $4^n = 4^{4k+2} = 4^{4k} \cdot 16 \equiv 1 \cdot 1 = 1 \pmod 5$

Trường hợp 4: $r = 3 \Rightarrow n = 4k + 3$ ($k \in \mathbb{N}$)

$\Rightarrow A \equiv 1 + 3 + 2 + 4 = 10 \equiv 0 \pmod 5$ (Chia hết cho 5).

- $1^n \equiv 1 \pmod 5$

- $2^n = 2^{4k+3} = 2^{4k} \cdot 8 \equiv 1 \cdot 3 = 3 \pmod 5$

- $3^n = 3^{4k+3} = 3^{4k} \cdot 27 \equiv 1 \cdot 2 = 2 \pmod 5$

- $4^n = 4^{4k+3} = 4^{4k} \cdot 64 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod 5$

Để $1^n + 2^n + 3^n + 4^n \vdots 5$ thì $n$ là các số tự nhiên không chia hết cho 4 (tức $n \not\vdots 4$).

n2 là n² hả bạn

a: \(n^3-2⋮n-2\)

=>\(n^3-8+6⋮n-2\)

=>\(6⋮n-2\)

=>\(n-2\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\)

=>\(n\in\left\{3;1;4;0;5;-1;8;-4\right\}\)

b: \(n^3-3n^2-3n-1⋮n^2+n+1\)

=>\(n^3+n^2+n-4n^2-4n-4+3⋮n^2+n+1\)

=>\(3⋮n^2+n+1\)

=>\(n^2+n+1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

mà \(n^2+n+1=\left(n+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>=\dfrac{3}{4}\forall n\)

nên \(n^2+n+1\in\left\{1;3\right\}\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}n^2+n+1=1\\n^2+n+1=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n^2+n=0\\n^2+n-2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}n\left(n+1\right)=0\\\left(n+2\right)\left(n-1\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow n\in\left\{0;-1;-2;1\right\}\)

Bài 1:

Ta có: \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)\)

\(=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n\)

\(=6n⋮6\)

1) \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n=6n⋮6\forall n\in Z\)

2) \(n\left(3-2n\right)-\left(n-1\right)\left(1+4n\right)-1=3n-2n^2-4n^2+3n+1-1=-6n^2+6n=6\left(-n^2+n\right)⋮6\forall n\in Z\)

Bg

Ta có: n2 + 2n + 6 \(⋮\)n + 4     (n thuộc \(ℤ\))

=> 4n + 6 \(⋮\)n + 4

=> 4.(n + 4) - 10 \(⋮\)n + 4

Mà 4.(n + 4) \(⋮\)n + 4

=> 10 \(⋮\)n + 4

=> n + 4 thuộc Ư(10)

Ư(10) = {1; -1; 2; -2; 5; -5; 10; -10}

Lập bảng: 

Vậy n = {-3; -5; ; -2; -6; 1; -9; 6; -14}

Ta có n² + 2n + 6 = n² + 8n + 16 - 6n - 24 + 14

                             = (n + 4)² - (n + 4) + 14

                             = (n + 4)(n + 4 - 1) + 14

Vì (n + 4)(n + 4 - 1) \(⋮\)n + 4 

=> 14 \(⋮n+4\Rightarrow n+4\inƯ\left(14\right)\)(Vì n nguyên)

=> \(n+4\in\left\{1;-1;2;-2;7;-7;14;-14\right\}\)

=> \(n\in\left\{-3;-5;-2;-6;3;-11;10;-18\right\}\)

\(⋮\)

Bài 1:

$A=(n-1)(2n-3)-2n(n-3)-4n$

$=2n^2-5n+3-(2n^2-6n)-4n$

$=-3n+3=3(1-n)$ chia hết cho $3$ với mọi số nguyên $n$

Ta có đpcm.

Bài 2:
$B=(n+2)(2n-3)+n(2n-3)+n(n+10)$

$=(2n-3)(n+2+n)+n(n+10)$

$=(2n-3)(2n+2)+n(n+10)=4n^2-2n-6+n^2+10n$

$=5n^2+8n-6=5n(n+3)-7(n+3)+15$

$=(n+3)(5n-7)+15$

Để $B\vdots n+3$ thì $(n+3)(5n-7)+15\vdots n+3$

$\Leftrightarrow 15\vdots n+3$
$\Leftrightarrow n+3\in\left\{\pm 1;\pm 3;\pm 5;\pm 15\right\}$

$\Rightarrow n\in\left\{-2;-4;0;-6;-8; 2;12;-18\right\}$

Bài toán khá nâng cao.

n²(n + 1) + 2n(n + 1)

⇔n³ + n² + 2n² + 2n

⇔n³ + 3n² + 2n

⇔(n² + 3n + 2)n 

làm câu