Bài này ngoài dùng tỉ số lượng giác lớp 9 rồi tới pytago thì không biết dùng gì nữa :(

a: Ta có: MC⊥CA

BA⊥CA

Do đó: MC//BA

Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHMC vuông tại H có

\(\hat{HAB}=\hat{HMC}\) (hai góc so le trong, AB//MC)

DO đó: ΔHAB~ΔHMC

b: Xét ΔHCA vuông tại H và ΔHMC vuông tại H có

\(\hat{HCA}=\hat{HMC}\left(=90^0-\hat{HAC}\right)\)

Do đó: ΔHCA~ΔHMC

=>\(\frac{HC}{HM}=\frac{HA}{HC}\)

=>\(HC^2=HM\cdot HA\)

c: ΔAHC vuông tại H

=>\(AH^2+HC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=2^2+3^2=4+9=13\)

=>\(AC=\sqrt{13}\) (cm)

Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có

góc HCA chung

Do đó: ΔCHA~ΔCAB

=>\(\frac{CH}{CA}=\frac{CA}{CB}\)

=>\(CH\cdot CB=CA^2\)

=>3CB=13

=>\(CB=\frac{13}{3}\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AB^2=\left(\frac{13}{3}\right)^2-13=\frac{169}{9}-13=\frac{169}{9}-\frac{117}{9}=\frac{52}{9}\)

=>\(AB=\frac{2\sqrt{13}}{3}\) (cm)

Xét ΔAHC vuông tại H và ΔACM vuông tại C có

góc HAC chung

Do đó: ΔAHC~ΔACM

=>\(\frac{AH}{AC}=\frac{AC}{AM}\)

=>\(AH\cdot AM=AC^2\)

=>\(2\cdot AM=13\)

=>AM=6,5(cm)

ΔMCA vuông tại C

=>\(CA^2+CM^2=AM^2\)

=>\(CM^2=AM^2-CA^2=6,5^2-13=\left(\frac{13}{2}\right)^2-13=\frac{169}{4}-13=\frac{169}{4}-\frac{52}{4}=\frac{117}{4}\)

=>\(CM=\sqrt{\frac{117}{4}}=\frac{3\sqrt{13}}{2}\) (cm)

\(S_{ABCM}=\frac12\cdot\left(AB+MC\right)\cdot AC\)

\(=\frac12\cdot\sqrt{13}\left(\frac{2\sqrt{13}}{3}+\frac{3\sqrt{13}}{2}\right)=\frac12\cdot\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}\left(\frac23+\frac32\right)=\frac12\cdot13\cdot\frac{13}{6}=\frac{169}{12}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a: Xét ΔACI vuông tại C và ΔBIH vuông tại H có

góc AIC=góc BIH

=>ΔAIC đồng dạng với ΔBIH

b: Xét ΔHBI vuông tại H và ΔHAB vuông tại H có

góc HBI=góc HAB

=>ΔHBI đồng dạng với ΔHAB

=>HB/HA=HI/HB

=>HB^2=HA*HI

A B C H P

vì AH vuông góc với AH nên góc AHB = 90 độ, và góc ABH + BAH = 90^o

=> BAH = 90^o - BÂH = 90^o - 20^o = 70^o

Vì HP là p/g của góc AHB nên góc AHP = 1/2 góc AHB = 1/2 .90^o = 45^o

xét tam giác AHP có góc APH + AHP + PAH = 180^o

=> góc APH + 45^o + 70^o = 180^o 

=> góc APH =  180^o  - 45^o - 70^o = 65^o