TH1: y=0

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(x^2-x+1=3^0=1\)

=>\(x^2-x=0\)

=>x(x-1)=0

=>x=0(nhận) hoặc x=1(nhận)

TH2: y=1

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(x^2-x+1=3\)

=>\(x^2-x-2=0\)

=>(x-2)(x+1)=0

=>x=2(nhận) hoặc x=-1(loại)

TH3: y>=2

=>\(3^{y}\) chia hết cho 9

=>\(x^2-x+1\) cũng phải chia hết cho 9

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(4x^2-4x+4=4\cdot3^{y}\)

=>\(4x^2-4x+1=4\cdot3^{y}-3\)

=>\(\left(2x-1\right)^2=3\left(4\cdot3^{y-1}-1\right)\)

Vì \(4\cdot3^{y-1}-1\) không chia hết cho 3 khi y>=2

nên \(3\left(4\cdot3^{y-1}-1\right)\) không chia hết cho 9 khi y>=2

=>\(\left(2x-1\right)^2\) không chia hết cho 9 khi y>=2

=>Loại

TH1: y=0

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(x^2-x+1=3^0=1\)

=>\(x^2-x=0\)

=>x(x-1)=0

=>x=0(nhận) hoặc x=1(nhận)

TH2: y=1

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(x^2-x+1=3\)

=>\(x^2-x-2=0\)

=>(x-2)(x+1)=0

=>x=2(nhận) hoặc x=-1(loại)

TH3: y>=2

=>\(3^{y}\) chia hết cho 9

=>\(x^2-x+1\) cũng phải chia hết cho 9

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(4x^2-4x+4=4\cdot3^{y}\)

=>\(4x^2-4x+1=4\cdot3^{y}-3\)

=>\(\left(2x-1\right)^2=3\left(4\cdot3^{y-1}-1\right)\)

Vì \(4\cdot3^{y-1}-1\) không chia hết cho 3 khi y>=2

nên \(3\left(4\cdot3^{y-1}-1\right)\) không chia hết cho 9 khi y>=2

=>\(\left(2x-1\right)^2\) không chia hết cho 9 khi y>=2

=>Loại

 Bài 1: Bài này số nhỏ nên chỉ cần chặn miền giá trị của \(x\) rồi xét các trường hợp thôi nhé. Ta thấy \(3^x< 35\Leftrightarrow x\le3\). Nếu \(x=0\) thì \(VT=2\), vô lí. Nếu \(x=1\) thì \(VT=5\), cũng vô lí. Nếu \(x=2\) thì \(VT=13\), vẫn vô lí. Nếu \(x=3\) thì \(VT=35\), thỏa mãn. Vậy, \(x=3\).

 Bài 2: Nếu \(x=0\) thì pt đã cho trở thành \(0!+y!=y!\Leftrightarrow0=1\), vô lí,

Nếu \(x=y\) thì pt trở thành \(2x!=\left(2x\right)!\) \(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(x+2\right)...\left(2x\right)=2\) \(\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1\)

Nếu \(x\ne y\) thì không mất tính tổng quát, giả sử \(1< y< x\) thì \(x!+y!< 2x!\le\left(x+1\right)x!=\left(x+1\right)!< \left(x+y\right)!\) nên pt đã cho không có nghiệm trong trường hợp này.

Như vậy, \(x=y=1\)

 Bài 3: Bổ sung đề là pt không có nghiệm nguyên dương nhé, chứ nếu nghiệm nguyên thì rõ ràng \(\left(x,y\right)=\left(0,19\right)\) là một nghiệm cũa pt đã cho rồi.

Giả sử pt đã cho có nghiệm nguyên dương \(\left(x,y\right)\)

Khi đó \(x,y< 19\). Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử \(1< y\le x< 19\). Khi ấy \(x^{17}+y^{17}=19^{17}\ge\left(x+1\right)^{17}=x^{17}+17x^{16}+...>x^{17}+17x^{16}\), suy ra \(y^{17}>17x^{16}\ge17y^{16}\) \(\Rightarrow y>17\). Từ đó, ta thu được \(17< y\le x< 19\) nên \(x=y=18\). Thử lại thấy không thỏa mãn. 

Vậy pt đã cho không có nghiệm nguyên dương.

Chị độc giải sau khi em biết làm thôi à.

Số tự nhiên nhỏ nhất là 0

thay y vào bt

x.2020=0.2021

x.2020=0

x=0:2020

x=0

Vì x là số tự nhiên lớn hơn 1 nên x=1(vô lí)

Vậy x thuộc rỗng

x thuộc rỗng và y = 0