\(\Delta'=4b^2-18a\left(671-9a\right)\ge4b^2-18a\left(\frac{18a+4b}{3}-9a\right)\)

\(\Delta'\ge4b^2-a\left(24b-54a\right)=4b^2-24ab+54a^2=\left(2b-6a\right)^2+18a^2\ge0\)

Phương trình luôn có nghiệm

1. 

\(DK:x\ge2\)

\(\Leftrightarrow\left(3\sqrt{x-2}-3\right)+\left(3-\sqrt{x+6}\right)-\left(2x-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3\left(x-3\right)}{\sqrt{x-2}+3}-\frac{x-3}{3+\sqrt{x+6}}-2\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\frac{3}{\sqrt{x-2}+3}-\frac{1}{3+\sqrt{x+6}}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\left(1\right)\\\frac{3}{\sqrt{x-2}+3}-\frac{1}{3+\sqrt{x+6}}-2=0\left(2\right)\end{cases}}\)

PT(2) khac khong voi moi \(x\ge2\)

Vay nghiem cua PT la \(x=3\)

\(x^3+2x=y^2-2009\)

\(\Leftrightarrow x^3-x=y^2-3x-2009\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)x\left(x+1\right)=y^2-3x-2009\)

Dễ thấy VT chia hết cho 3 nên VP chia hết cho 3 

Suy ra \(y^2\) chia 3 dư 2 vì 2009 chia 3 dư 2 và 3x chia hết cho 3 ( vô lý vì số chính phương ko chia 3 dư 2 ) 

Vậy pt vô nghiệm

a: Khi m=1 thì (1) sẽ là x^2-2=0

=>\(x=\pm\sqrt{2}\)

b: a*c=-m^2+m-2

=-(m^2-m+2)

=-(m^2-m+1/4+7/4)

=-(m-1/2)^2-7/4<0 với mọi m

=>Phương trình luôn co hai nghiệm trái dấu

c S=(x1+x2)^2-2x1x2

=(m-1)^2-2(-m^2+m-2)

=m^2-2m+1+2m^2-2m+4

=3m^2-4m+5

=3(m^2-4/3m+5/3)

=3(m^2-2*m*2/3+4/9+11/9)

=3(m-2/3)^2+11/3>=11/3

=>Dấu = xảy ra khi m=2/3

Đề là \(x^2-\left(m-1\right)x+4m-1=0\) đúng ko em nhỉ?

ko ạ

\(a,m=4\Leftrightarrow x^2-10x=0\Leftrightarrow x\left(x-10\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=10\end{matrix}\right.\\ b,\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m-4\right)=m^2+m+5=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{19}{4}>0\)

Vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

1: Sửa đề: Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

TH1: m=0

Phương trình sẽ trở thành:

\(0\cdot x^2+2\cdot x-4\cdot0+4=0\)

=>2x+4=0

=>2x=-4

=>x=-2

=>Phương trình có nghiệm duy nhất là x=-2(1)

TH2: m<>0

\(\Delta=2^2-4m\left(-4m+4\right)\)

\(=4+16m^2-16m=4\left(4m^2-4m+1\right)=4\left(2m-1\right)^2\ge0\forall m\)

=>Phương trình luôn có nghiệm với mọi m<>0(2)

Từ (1),(2) suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi m

2: TH1: m=0

=>Phương trình có nghiệm duy nhất là x=-2

=>Nhận

TH2: m<>0

*Trường hợp 1: Phương trình có hai nghiệm trái dấu

=>m(-4m+4)<0

=>m(m-1)>0

=>m>1 hoặc m<0

*Trường hợp 2: Phương trình có hai nghiệm đều là nghiệm âm

=>\(\begin{cases}\Delta\ge0\\ x_1+x_2<0\\ x_1x_2>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4\left(2m-1\right)^2\ge0\left(luônđúng\right)\\ -\frac{2}{m}<0\\ \frac{-4m+4}{m}>0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}m>0\\ \frac{-m+1}{m}>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}m>0\\ \frac{m-1}{m}<0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}m>0\\ 0

=>0<m<1