a: Xét ΔAKD vuông tại K và ΔBHC vuông tại H có

AD=BC

góc D=góc C

=>ΔAKD=ΔBHC

=>CH=DK

Xét tứ giác ABHK có

AB//HK

AK//HB

=>ABHK là hình bình hành

=>AB=HK

b: KH=AB=7cm

=>DK+HC=13-7=6cm

=>DK=HC=6/2=3cm

\(BH=\sqrt{13^2-3^2}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}\left(cm\right)\)

\(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot\left(AB+CD\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot4\sqrt{10}\left(7+13\right)=40\sqrt{10}\left(cm^2\right)\)

Gọi K là giao điểm của AD và BC

Xét ΔKDC có \(\hat{KDC}+\hat{KCD}=90^0\)

nên ΔKDC vuông tại K

Xét ΔKDC có AB//DC

nên \(\frac{KA}{KD}=\frac{AB}{DC}\)

=>\(\frac{KA}{KA+AD}=\frac{5}{15}=\frac13\)

=>\(\frac{KA}{KA+6}=\frac13\)

=>3KA=KA+6

=>2KA=6

=>KA=3(cm)

Xét ΔKDC có AB//DC

nên \(\frac{KB}{KC}=\frac{AB}{DC}\)

=>\(\frac{KB}{KB+BC}=\frac{5}{15}=\frac13\)

=>\(\frac{KB}{KB+8}=\frac13\)

=>3KB=KB+8

=>2KB=8

=>KB=4(cm)

ΔKAB vuông tại K

=>\(S_{KAB}=\frac12\cdot KA\cdot KB=\frac12\cdot3\cdot4=3\cdot2=6\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

KA+AD=KD

=>KD=3+6=9(cm)

KB+BC=KC

=>KC=4+8=12(cm)

ΔKCD vuông tại K

=>\(S_{KCD}=\frac12\cdot KD\cdot KC=\frac12\cdot9\cdot12=6\cdot9=54\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có: \(S_{KAB}+S_{ABCD}=S_{KCD}\)

=>\(S_{ABCD}=54-6=48\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

kẻ AH⊥CD tại H và BK⊥CD tại K

=>AH//BK

AB//CD
=>AB//KH

Xét tứ giác ABKH có

AB//KH

AH//BK

Do đó: ABKH là hình bình hành

=>AB=KH

=>KH=7(cm)

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔBKC vuông tại K có

AD=BC

\(\hat{ADH}=\hat{BCK}\)

Do đó: ΔAHD=ΔBKC

=>DH=KC

mà DH+KC=DC-HK=25-7=18cm

nen DH=KC=18/2=9(cm)

DH+HC=DC

=>HC=25-9=16(cm)

Xét ΔADC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HD\cdot HC=9\cdot16=144=12^2\)

=>AH=12(cm)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot AH\cdot\left(AB+CD\right)\)

\(=\frac12\cdot12\cdot\left(7+25\right)=6\cdot32=192\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Sửa đề: M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA.

a: AD=AB

=>\(\hat{ABD}=\hat{ADB}\)

mà \(\hat{ABD}=\hat{BDC}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

nên \(\hat{ADB}=\hat{CDB}\)

=>DB là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{ADB}=\hat{CDB}=\frac12\cdot\hat{ADC}=30^0\)

ABCD là hình thang cân

=>\(\hat{BCD}=\hat{ADC}\)

=>\(\hat{BCD}=60^0\)

Xét ΔBDC có \(\hat{BCD}+\hat{BDC}=90^0\)

nên ΔBDC vuông tại B

ABCD là hình thang cân

=>AD=BC

=>BC=a

Xét ΔBDC vuông tại B có sin BDC=\(\frac{BC}{CD}\)

=>\(\frac{a}{CD}=\sin30=\frac12\)

=>CD=2a

ΔBDC vuông tại B

=>\(BD^2+BC^2=CD^2\)

=>\(BD^2=\left(2a\right)^2-a^2=3a^2\)

=>\(BD=a\sqrt3\)

Kẻ BH⊥CD tại H

Xét ΔBDC vuông tại B có BH là đường cao

nên \(BH\cdot CD=BD\cdot BC\)

=>\(BH\cdot2a=a\cdot a\sqrt3=a^2\sqrt3\)

=>\(BH=\frac{a^2\sqrt3}{2a}=\frac{a\sqrt3}{2}\)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot\left(AB+CD\right)\cdot BH\)

\(=\frac12\cdot\frac{a\sqrt3}{2}\cdot\left(a+2a\right)=\frac{a\sqrt3}{4}\cdot3a=\frac{3a^2\sqrt3}{4}\)

b: Sửađề: Chứng minh MNPQ là hình thoi

Xét ΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC và \(MN=\frac{AC}{2}\)

Xét ΔDAC có

P,Q lần lượt là trung điểm của DC,DA

=>PQ là đường trung bình của ΔDAC

=>PQ//AC và \(PQ=\frac{AC}{2}\)

Xét ΔABD có

M,Q lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>MQ là đường trung bình của ΔABD

=>\(MQ=\frac{BD}{2}\)

PQ//AC

MN//AC

Do đó: MN//PQ

\(MN=\frac{AC}{2}\)

\(PQ=\frac{AC}{2}\)

Do đó: MN=PQ

\(MN=\frac{AC}{2};MQ=\frac{BD}{2}\)

mà AC=BD

nên MN=MQ

Xét tứ giác MNPQ có

MN//PQ

MN=PQ

Do đó: MNPQ là hình bình hành

Hình bình hành MNPQ có MN=MQ

nên MNPQ là hình thoi

A B C D H K 2 5

Kẻ AH và BK vuông góc với CD ta có:

AH//BK mà AB//HK nên ABKH là hình bình hành

Ta có góc H = góc K = 90 độ suy ra hình bình hành ABKH là hình chữ nhật

Suy ra HK=AB=2 (cm) nên DH+CK=CD-HK=5-2=3 (cm)

Xét tam giác AHD và tam giác BKC ta có:

góc H = góc K =90 độ

góc D = góc C (ABCD là hình thang cân)

AD=BC (ABCD là hình thang cân) 

Do đó tam giác AHD = tam giác BKC ( cạnh huyền - góc nhọn) 

Suy ra DH=CK (2 cạnh tương ứng)

Suy ra DK= 3/2=1.5

Ta lại có góc DAH + góc HAB = góc A

nên góc DAH = góc A - góc HAB = 127-90= 37 độ

tan góc DAH = \(\frac{DH}{AH}\)  suy ra AH= \(\frac{DH}{\tan DAH}\)

                                                =\(\frac{1,5}{\tan37}\approx2\left(cm\right)\)

S_ABCD = \(\frac{\left(AB+CD\right)\cdot AH}{2}=\frac{\left(2+5\right)\cdot2}{2}=7\left(cm^2\right)\)

kẻ bk ⊥ dc ag ⊥ dc

abcd là ht cân

suy ra kc +dg+gk=dc

2kc +ab =dc

kc= dc -ab trên 2 = 10-4 trên 2=3 cm

bk mũ 2 = bc mũ 2 - kc mũ 2 = 5 mũ 2 - 3 mũ 2 =4cm

ta có ih song song kb

di = ib

suy ra ih là đường tb

suy ra ih =1 phần 2 kb = 1 phần 2 nhân 4 =2 cm