b: Xét tứ giác ABCE có 

M là trung điểm của AC
M là trung điểm của BE

Do đó:ABCE là hình bình hành

a: Xét ΔABC và ΔADE có

AB=AD
\(\hat{BAC}=\hat{DAE}\) (hai góc đối đỉnh)

AC=AE

Do đó: ΔABC=ΔADE
b: ΔABC=ΔADE

=>\(\hat{ABC}=\hat{ADE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên BC//DE
c: ΔABC=ΔADE

=>BC=DE
mà \(BM=CM=\frac{BC}{2};DN=NE=\frac{DE}{2}\)

nên BM=CM=DN=NE

Xét ΔABM và ΔADN có

AB=AD
\(\hat{ABM}=\hat{ADN}\overline{}\) (hai góc so le trong, BM//DN)

BM=DN

Do đó: ΔABM=ΔADN

=>\(\hat{BAM}=\hat{DAN}\)

mà \(\hat{BAM}+\hat{DAM}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{DAM}+\hat{DAN}=180^0\)

=>M,A,N thẳng hàng

ΔABM=ΔADN

=>AM=AN

=>A là trung điểm của MN

* Xét tam giác ABC có D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC nên DE là đường trung bình của tam giác.

Suy ra: DE// BC và

* Xét tứ giác DECB có DE // BC nên DECB là hình thang.

Lại có: M và N lần lượt là trung điểm của BD và EC nên MN là đường trung bình của hình thang .

Chọn đáp án D

:)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

ΔABC vuông tại A

mà AP là đường trung tuyến

nên AP=BC/2=5(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot6\cdot8=\frac12\cdot48=24\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: Xét ΔABC có

N,P lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>NP là đường trung bình của ΔABC

=>NP//AB và \(NP=\frac{AB}{2}\)

NP//AB

=>NP//AM và NP//BM

\(NP=\frac{AB}{2}\)

\(MA=MB=\frac{AB}{2}\)

Do đó: NP=MA=MB

Xét tứ giác AMPN có

AM//PN

AM=PN

Do đó: AMPN là hình bình hành

Hình bình hành AMPN có \(\hat{MAN}=90^0\)

nên AMPN là hình chữ nhật

c: ΔABC vuông tại A

mà AP là đường trung tuyến

nên AP=PB=PC=BC/2

Xét tứ giác APCE có

N là trung điểm chung của AC và PE

=>APCE là hình bình hành

Hình bình hành APCE có AP=PC

nên APCE là hình thoi

d: Hình thoi APCE trở thành hình vuông khi AP⊥PC

=>AP⊥BC

Xét ΔABC có

AP là đường cao

AP là đường trung tuyến

Do đó: ΔABC cân tại A

=>AB=AC

e: PN=AM

mà PN=1/2PE và AM=1/2AB

nên AB=PE

Xét tứ giác ABPE có

AB//PE

AB=PE

Do đó: ABPE là hình bình hành

=>AP cắt BE tại trung điểm của mỗi đường(1)

AMPN là hình chữ nhật

=>AP cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AP,BE,MN đồng quy

f: Xét tứ giác APBD có

M là trung điểm chung của AB và PD

=>APBD là hình bình hành

=>AD//BP

=>AD//BC

AECP là hình thoi

=>AE//CP

=>AE//CB

mà AD//BC

và AD,AE có điểm chung là A

nên D,A,E thẳng hàng

a) Xét tam giác AND và tam giác CNB ta có:

NB = ND (Vì N là trung điểm của BD)

góc AND = góc CNB (đối đỉnh)

NA = NC (Vì N là trung điểm của AC)

=> tam giác AND = tam giác CNB (c-g-c)

b) Vì tam giác AND = tam giác CNB

=> AD = BC (2 cạnh tương ứng)

=> góc DAN = góc BCN (2 góc tương ứng)

mà góc DAN và góc BCN là 2 góc so le trong

suy ra AD // BC

c) chưa nghĩ ra

a: Xét hình thang BDEC có 

M là trung điểm của BD

N là trung điểm của EC

Do đó: MN là đường trung bình của hình thang BDEC

Suy ra: \(MN=\dfrac{DE+BC}{2}=\dfrac{8+4}{2}=6\left(cm\right)\)

a) Xét ΔAND và ΔCNB có 

NA=NC(N là trung điểm của AC)

\(\widehat{AND}=\widehat{CNB}\)(hai góc đối đỉnh)

ND=NB(N là trung điểm của BD)

Do đó: ΔAND=ΔCNB(c-g-c)

b) Ta có: ΔAND=ΔCNB(cmt)

nên AD=BC(hai cạnh tương ứng)

Ta có: ΔAND=ΔCNB(cmt)

nên \(\widehat{ADN}=\widehat{CBN}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{ADN}\) và \(\widehat{CBN}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên AD//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)