\(ab+\frac{1}{ab}=16ab+\frac{1}{ab}-15ab\ge2\sqrt{\frac{16ab}{ab}}-15ab=8-15ab\)

Lại có:

\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)(BĐT phụ này bn tự CM)

\(\Rightarrow8-15ab\ge8-\frac{15}{4}=\frac{17}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2

vậy bạn ơi cho mk hỏi thêm : nếu mà đặt 1/ab = t thì biến đổi như thế nào để cho t + 1/t lớn hơn hoặc bằng 4

BĐT <=> \(\frac{2}{a^2+2}+\frac{2}{b^2+2}+\frac{2}{c^2+2}\le2\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{a^2}{a^2+2}+1-\frac{b^2}{b^2+2}+1-\frac{c^2}{c^2+2}\le2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\ge1\)

Theo BĐT Svacxo:

\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{a^2+b^2+c^2+6}{a^2+b^2+c^2+6}=1\)

Vậy ta có đpcm.

P/s: Đúng ko ta?

Cosi + Svac-xơ

Có : \(3=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\)

\(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le\frac{1}{4-\frac{a+b}{2}}+\frac{1}{4-\frac{b+c}{2}}+\frac{1}{4-\frac{c+a}{2}}\)

\(=-\left(\frac{1}{\frac{a+b}{2}-4}+\frac{1}{\frac{b+c}{2}-4}+\frac{1}{\frac{c+a}{2}-4}\right)\le\frac{-\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c-12}=\frac{-9}{3-12}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)

hơi phiền bn,bn có thẻ chỉ mik k ?

ta áp dụng bđt buhia cốp xki

=> \(\left(a^2+b^2+1\right)\left(1^2+1^2+c^2\right)\ge\left(a^{}\cdot1^{}+b^{}\cdot1^{}+1^{}\cdot c_{}^{}\right)^2\)

=> \(\left(a^2+b^2+1\right)\left(c^2+2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

=> \(\frac{1}{a^2+b^2+1}\le\frac{\left(c^2+2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)

CM tương tự ta có:

\(\frac{1}{b^2+c^2+1}\le\frac{\left(a^2+2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(\frac{1}{c^2+a^2+1}\le\frac{\left(b^2+2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)

thay vào biểu thức cần CM:

\(\frac{\left(c^2+2+a^2+2+b^2+2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2+6\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)

thay ab+bc+ca=3

\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)

vậy BĐT dc CM

Vào TKHĐ của mình xem hình ảnh cho tiện nhé !

đây là câu trả lời của mình nha ! Tránh bị phàn nàn là copy