Bài 1:

\(y=\left(m-1\right)x^2+2mx-3m+1\)

\(=mx^2-x^2+2mx-3m+1\)

\(=m\left(x^2+2x-3\right)-x^2+1\)

Tọa độ điểm cố định mà (Pm) luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2x-3=0\\y=-x^2+1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0\\y=-x^2+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\\y=-x^2+1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+3=0\\y=-x^2+1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y=-x^2+1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-\left(-3\right)^2+1=-9+1=-8\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1^2+1=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Δ=(m-1)^2-4(m^2-m)

=m^2-2m+1-4m^2+4m

=-3m^2+2m+1

Để phương trình có hai nghiệm thì -3m^2+2m+1>=0

=>-1/3<=m<=1

(1+x1)^2+(1+x2)^2=6

=>x1^2+x2^2+2(x1+x2)+2=6

=>(x1+x2)^2-2x1x2+2(m-1)+2=6

=>(m-1)^2-2(m^2-m)+2m=6

=>m^2-2m+1-2m^2+2m+2m=6

=>-m^2+2m-5=0

=>Loại

bạn ghi lại đề đi bạn

\(\Delta=\left(m+1\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m^2-m\right)\)

\(=m^2+2m+1-8\left(m^2-m\right)=m^2+2m+1-8m^2+8m\)

\(=-7m^2+10m+1\)

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>\(-7m^2+10m+1\ge0\)

=>\(7m^2-10m-1\le0\)

=>\(m^2-\frac{10}{7}m-\frac17\le0\)

=>\(m^2-2\cdot m\cdot\frac57+\frac{25}{49}\le\frac{25}{49}+\frac17=\frac{25+7}{49}=\frac{32}{49}\)

=>\(\left(m-\frac57\right)^2\le\frac{32}{49}\)

=>\(-\frac{4\sqrt2}{7}\le m-\frac57\le\frac{4\sqrt2}{7}\)

=>\(\frac{-4\sqrt2+5}{7}\le m\le\frac{4\sqrt2+5}{7}\)

Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{m+1}{2};x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m^2-m}{2}\)

\(A=\left(2x_1+1\right)\left(2x_2+1\right)\)

\(=4x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)+1\)

\(=2\left(m^2-m\right)+2\cdot\frac{m+1}{2}+1=2m^2-2m+m+1+1=2m^2-m\)

\(=2\left(m^2-\frac12m\right)\)

\(=2\left(m^2-2\cdot m\cdot\frac14+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}\right)=2\left(m-\frac14\right)^2-\frac18\ge-\frac18\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m-1/4=0

=>m=1/4(nhận)

Lời giải:

a)

Khi $m=1$ thì pt trở thành:

$x^2+4x-1=0$

$\Leftrightarrow (x+2)^2=5\Rightarrow x+2=\pm \sqrt{5}$

$\Rightarrow x=-2\pm \sqrt{5}$

b)

Để pt có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'=(m+1)^2-(-2m^4+m^2)>0\Leftrightarrow 2m^4+2m+1>0(*)$

Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-2(m+1)\\ x_1x_2=-2m^4+m^2\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

$(m-1)x_1+x_1x_2+(m-1)x_2=-1$

$\Leftrightarrow (m-1)(x_1+x_2)+x_1x_2=-1$

$\Leftrightarrow -2(m-1)(m+1)+(-2m^4+m^2)=-1$

$\Leftrightarrow -2m^4-m^2+3=0$

$\Leftrightarrow (1-m^2)(2m^2+3)=0$

$\Rightarrow m^2=1\Rightarrow m=\pm 1$

Thay vào $(1)$ thấy 2 giá trị đều thỏa mãn.

Khi m=1 thì pt sẽ là:

x^2-2*2x+1^2+2=0

=>x^2-4x+3=0

=>x=1 hoặc x=3

Khi m=1 thì (*) sẽ là 10x=2

=>x=1/5

Khi m=-1 thì (*) sẽ là 10x=0

=>x=0

Khi m=2 thì (*) sẽ là 10x-3=0

=>x=3/10

Khi m=-2 thì (*) sẽ là 10x=-1

=>x=-1/10