a: Xét (O) có

ΔBAM nội tiếp

BM là đường kính

Do đó: ΔBAM vuông tại A

Xét (O) có

ΔBCM nội tiếp

BM là đường kính

Do đó: ΔBCM vuông tại C

Xét (O) có

\(\hat{BAC};\hat{BMC}\) là các góc nội tiếp chắn cung BC

Do đó: \(\hat{BAC}=\hat{BMC}\)

=>\(\hat{BMC}=60^0\)

Xét ΔBCM vuông tại C có cos BMC=\(\frac{MC}{MB}\)

=>\(\frac{MC}{2R}=cos60=\frac12\)

=>MC=R

Diện tích tam giác BCM là:

\(S_{BCM}=\frac12\cdot MC\cdot MB\cdot\sin BMC\)

\(=\frac12\cdot R\cdot2R\cdot\sin60=R^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{R^2\sqrt3}{2}\)

Xét (O) có

\(\hat{ACB};\hat{AMB}\) là các góc nội tiếp chắn cung AB

=>\(\hat{ACB}=\hat{AMB}=45^0\)

Xét ΔAMB vuông tại A có \(\hat{AMB}=45^0\)

nên ΔAMB vuông cân tại A

=>\(BA=AM=BM\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2R\cdot\frac{\sqrt2}{2}=R\sqrt2\)

ΔBAM vuông tại A

=>\(S_{ABM}=\frac12\cdot AB\cdot AM=\frac12\cdot R\sqrt2\cdot R\sqrt2=R^2\)

Diện tích tứ giác ABCM là

\(S_{ABCM}=S_{ABM}+S_{MBC}\)

\(=\frac{R^2\sqrt3}{2}+R^2=R^2\left(\frac{\sqrt3}{2}+1\right)\)

b: Xét (O) có

\(\hat{ABC};\hat{ADC}\) là các góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{ABC}=\hat{ADC}\)

Xét ΔABE và ΔADC có

\(\hat{ABE}=\hat{ADC}\)

\(\hat{BAE}=\hat{DAC}\)

Do đó: ΔABE~ΔADC

=>\(\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}\)

=>\(AB\cdot AC=AE\cdot AD\)

Xét (O) có

\(\hat{DBC};\hat{DAC}\) là các góc nội tiếp chắn cung DC

Do đó: \(\hat{DBC}=\hat{DAC}\)

mà \(\hat{DAC}=\hat{DAB}\)

nên \(\hat{DBE}=\hat{DAB}\)

Xét ΔDBE và ΔDAB có

\(\hat{DBE}=\hat{DAB}\)

góc ADB chung

Do đó: ΔDBE~ΔDAB

=>\(\frac{DB}{DA}=\frac{DE}{DB}\)

=>\(DB^2=DE\cdot DA\)

a: Xét (O) có

\(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

\(\widehat{BOC}\) là góc ở tâm chắn cung BC

Do đó: \(\widehat{BOC}=2\cdot\widehat{BAC}=90^0\)

b:

Gọi M là giao điểm của BH với CK

Xét ΔHBC vuông tại H có \(\widehat{HBC}+\widehat{HCB}=90^0\)

=>\(\widehat{HBC}=90^0-\widehat{HCB}\)

=>\(\widehat{MBC}=90^0-\widehat{ACB}\)

Xét ΔKBC vuông tại K có \(\widehat{KBC}+\widehat{KCB}=90^0\)

=>\(\widehat{KCB}=90^0-\widehat{KBC}\)

=>\(\widehat{MCB}=90^0-\widehat{ABC}\)

Xét ΔABC có

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^0\)

=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0-45^0=135^0\)

Xét ΔMBC có \(\widehat{MBC}+\widehat{MCB}+\widehat{BMC}=180^0\)

=>\(\widehat{BMC}=180^0-\left(\widehat{MBC}+\widehat{MCB}\right)\)

\(=180^0-\left(90^0-\widehat{ABC}+90^0-\widehat{ACB}\right)\)

\(=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=135^0\)

=>\(\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=45^0\)

Xét (O) có

\(\widehat{CAD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD

\(\widehat{CBD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD

Do đó: \(\widehat{CAD}=\widehat{CBD}\)

Xét (O) có

\(\widehat{EAB}\) là góc nội tiếp chắn cung EB

\(\widehat{ECB}\) là góc nội tiếp chắn cung EB

Do đó: \(\widehat{EAB}=\widehat{ECB}\)

\(\widehat{EAB}+\widehat{CAD}=\widehat{ECB}+\widehat{DBC}\)

\(=\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=45^0\)

\(\widehat{EAD}=\widehat{EAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAD}\)

\(=45^0+45^0=90^0\)

=>ΔEAD vuông tại A

ΔEAD vuông tại A

nên ΔEAD nội tiếp đường tròn đường kính ED

mà ΔEAD nội tiếp (O)

nên O là trung điểm của ED

=>E,O,D thẳng hàng

ta có OD vuông góc với BC nên D là điểm chính giữa cung BC nên AD là phân giác góc BAC

nên góc BAD=góc CAD=60/2=30 độ hay góc BAN=30 độ

góc BAM=góc BCA( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BA)

suy ra góc NAM=30 + góc BAM=30 độ+ góc BCA

mà góc ANM là góc ngoài tam giác NAC nên góc ANM= góc NAM+góc NCA=30 độ + góc BCA= gócNAM suy ra tam giác ANM cân ởM

Câu hỏi của Nguyễn Vũ Thu Hương - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath