a)

$A=\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}$

$\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a(b^2+1)+b(c^2+1)+c(a^2+1)}\qquad (\text{Cauchy Engel})$

$=\dfrac{1}{ab^2+bc^2+ca^2+1}$

$\ge \dfrac{1}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+1}$

$=\dfrac{1}{(a+b+c)(ab+bc+ca)+1}

$\ge \dfrac{1}{\frac13+1}$ $=\dfrac34$

Dấu bằng khi $a=b=c=\dfrac13$.

$\boxed{A_{\min}=\dfrac34}$

b)

$B=\dfrac{a}{ab+2c}+\dfrac{b}{bc+2a}+\dfrac{c}{ca+2b}$

$\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a(ab+2c)+b(bc+2a)+c(ca+2b)}$

$=\dfrac4{a^2b+b^2c+c^2a+2(ab+bc+ca)}$

Lại có $a^2b+b^2c+c^2a\le (a+b+c)(ab+bc+ca)$$=2(ab+bc+ca)$

Nên $B\ge \dfrac4{4(ab+bc+ca)}$$=\dfrac1{ab+bc+ca}$

$\ge \dfrac1{\frac{(a+b+c)^2}{3}}$ $=\dfrac34$

Dấu bằng khi $a=b=c=\dfrac23$.

$B_{\min}=\dfrac34$

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(a^2+b^2+c^2\ge2ab-2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2bc-2a\left(b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+\left(b+c\right)^2-2a\left(b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

Câu hỏi của Hattory Heiji - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

tvbobnokb' n

iai

  ni;bv nn0

Đề là tìm GTNN hay GTLN hả bạn?

Do a+b+c= 0

<=> a+b= -c 

=> (a+b)²= c² 

Tương tự: (c+a)²= b², (c+b)²= a²   

Ta có: \(A=\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}\)

\(=\frac{1}{b^2+c^2-\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{c^2+a^2-\left(c+a\right)^2}+\frac{1}{a^2+b^2-\left(a+b\right)^2}\)

\(=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ca}+\frac{1}{-2ab}\)

\(=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\)