CMR với n\(\in\)N* , n>1 thì A=\(n^4+4^n\) là hợp số
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DL
0
NT
0
RL
0
LN
1
6 tháng 11 2018
Nếu nn chẵn thì cái tổng chia hết cho 2
Nếu nn lẻ thì
Phân tích nhân tử
Ta có n4+4n=(n2)2+(2n)2+2.n2.2n−2.n2.2n=(n2+2n)2−n2.2n+1=(n2+2n−n.2n+12)(n2+2n+n.2n+12)n4+4n=(n2)2+(2n)2+2.n2.2n−2.n2.2n=(n2+2n)2−n2.2n+1=(n2+2n−n.2n+12)(n2+2n+n.2n+12)
Ta chỉ cần chứng minh cả 2 thừa số đều lớn hơn 1 là được
Tức là ta chứng minh n2+2n−n.2n+12≥1n2+2n−n.2n+12≥1
Tương đương với n2+2n+1−2n.2n+12+n2≥2n2+2n+1−2n.2n+12+n2≥2 ( nhân 2 cho 2 vế )
BĐT <=>(n−2n+12)2+n2≥2<=>(n−2n+12)2+n2≥2 đúng với nn lẻ và n≥3n≥3
Vậy, ta có điều phải chứng minh
TN
31 tháng 3 2016
Ta có : A = n2(n2 +2n + 1) + ( n2 + 2n + 1) = (n2+1).(n+1)2
Vì n2 + 1 không phải là số chính phương nên A không phải là số chính phương.
NT
Nguyễn Thị Thu
VIP
16 tháng 2
Ta có:
(n^2 + n)^2 = n^4 + 2n^3 + n^2
Vì n > 0, nên 2n^2 + 2n + 1 > n^2.
Suy ra: A = n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n + 1 > n^4 + 2n^3 + n^2 = (n^2 + n)^2.
Hay A > (n^2 + n)^2. (1)
Lại có:
(n^2 + n)^2 = n^4 + 2n^3 + n^2
Vì n > 0, nên 2n^2 + 2n + 1 > n^2.
Suy ra: A = n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n + 1 > n^4 + 2n^3 + n^2 = (n^2 + n)^2.
Hay A > (n^2 + n)^2. (1)
Lại có:
(n^2 + n + 1)^2 = n^4 + n^2 + 1 + 2n^3 + 2n^2 + 2n = n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1.
=>(n^2 + n + 1)^2 - A = (n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1) - (n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n + 1) = n^2.
Vì n > 0 nên n^2 > 0, do đó (n^2 + n + 1)^2 > A.
Hay A < (n^2 + n + 1)^2. (2)
Từ (1) và (2), ta có:
(n^2 + n)^2 < A < (n^2 + n + 1)^2.
Lời giải:
Nếu $n$ chẵn, hiển nhiên $A=n^4+4^n\vdots 2$ và $A>2$ nên $A$ là hợp số.
Nếu $n$ lẻ:
Ta có:
\(A=n^4+4^n=(n^2)^2+(2^n)^2=(n^2)^2+(2^n)^2+2.n^2.2^n-2^{n+1}.n^2\)
\(=(n^2+2^n)^2-(2^{\frac{n+1}{2}}.n)^2=(n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}.n)(n^2+2^n+2^{\frac{n+1}{2}}.n)\)
Với $n$ lẻ thì \(n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}.n;n^2+2^n+2^{\frac{n+1}{2}}.n\) đều là những số nguyên.
\(n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}.n=(n-2^{\frac{n-1}{2}})^2+2^{n-1}\geq 2\) với mọi $n$ tự nhiên lẻ.
\(n^2+2^n+2^{\frac{n+1}{2}}.n>2\) với mọi $n$ tự nhiên lẻ. Do đó $A$ là hợp số
Từ 2 TH trên suy ra $A$ là hợp số với mọi số tự nhiên $n$.