\(\Delta=25-4\left(3m-1\right)\ge0\Rightarrow m\le\dfrac{29}{12}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-5\\x_1x_2=3m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^3-x_2^3+3x_1x_2=75\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right]+3x_1x_2=75\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(26-3m\right)+9m-3=75\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(26-3m\right)=3\left(26-3m\right)\)

\(\Rightarrow x_1-x_2=3\)

Kết hợp hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=3\\x_1+x_2=-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1\\x_2=-4\end{matrix}\right.\)

Thế vào \(x_1x_2=3m-1\Rightarrow3m-1=4\Rightarrow m=\dfrac{5}{3}\)

Cho em hỏi là từ bước biến đổi hệ thức ý, làm thế nào mà từ bước1 lại thành bước 2 được như vậy ạ?

Để PT có hai nghiệm  x 1 ; x 2  thì:  Δ = 25 − 12 m + 4 ≥ 0 ⇔ 29 − 12 m ≥ 0 ⇔ m ≤ 29 12

Ta có:  x 1 3 − x 2 3 + 3 x 1 x 2 = 75 ⇔ ( x 1 − x 2 ) [ ( x 1 + x 2 ) 2 − x 1 x 2 ] + 3 x 1 x 2 − 75 = 0     (*)

Theo định lý Vi-et ta có:  x 1 + x 2 = − 5 x 1 x 2 = 3 m − 1  thay vào (*) ta được

( x 1 − x 2 ) ( 26 − 3 m ) + 3 ( 3 m − 26 ) = 0 ⇔ ( x 1 − x 2 − 3 ) ( 26 − 3 m ) = 0 ⇔ m = 26 3                   x 1 − x 2 − 3 = 0

Kết hợp với điều kiện thì m = 26/3 không thỏa mãn.

Kết hợp  x 1 − x 2 − 3 = 0  với hệ thức Vi - et ta có hệ:  x 1 − x 2 − 3 = 0 x 1 + x 2 = − 5 x 1 x 2 = 3 m − 1 ⇔ x 1 = − 1 x 2 = − 4 m = 5 3        ( t / m ) .

Vậy m = 5/3  là giá trị cần tìm.

Ta có: \(\Delta=\left\lbrack2\left(m-3\right)\right\rbrack^2-4\left(3m^2-8m+5\right)\)

\(=4\left(m^2-6m+9\right)-12m^2+32m-20\)

\(=4m^2-24m+36-12m^2+32m-20=-8m^2+8m+16\)

\(=-8\left(m^2-m-2\right)=-8\left(m-2\right)\left(m+1\right)\)

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>-8(m-2)(m+1)>=0

=>(m-2)(m+1)<=0

=>-1<=m<=2

Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m-3\right)\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=3m^2-8m+5=\left(3m-5\right)\left(m-1\right)\end{cases}\)

\(x_1^2+2x_2^2-3x_1x_2=x_1-x_2\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-2x_2\right)-\left(x_1-x_2\right)=0\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-2x_2-1\right)=0\)

TH1: \(x_1-x_2=0\)

=>\(x_1=x_2\)

mà \(x_1+x_2=2\left(m-3\right)\)

nên \(x_1=x_2=\frac{2\left(m-3\right)}{2}=m-3\)

\(x_1x_2=3m^2-8m+5\)

=>\(3m^2-8m+5=\left(m-3\right)^2=m^2-6m+9\)

=>\(2m^2-2m-4=0\)

=>\(m^2-m-2=0\)

=>(m-2)(m+1)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}m-2=0\\ m+1=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=2\left(nhận\right)\\ m=-1\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

TH2: \(x_1-2x_2-1=0\)

=>\(x_1-2x_2=1\)

mà \(x_1+x_2=2\left(m-3\right)=2m-6\)

nên \(x_1-2x_2-x_1-x_2=1-2m+6=-2m+7\)

=>\(-3x_2=-2m+7\)

=>\(x_2=\frac{2m-7}{3}\)

\(x_1+x_2=2m-6\)

=>\(x_1=2m-6-\frac{2m-7}{3}=\frac{3\left(2m-6\right)-2m+7}{3}=\frac{4m-11}{3}\)

\(x_1x_2=3m^2-8m+5\)

=>\(\frac{\left(2m-7\right)\left(4m-11\right)}{9}=3m^2-8m+5\)

=>\(9\left(3m^2-8m+5\right)=\left(2m-7\right)\left(4m-11\right)\)

=>\(27m^2-72m+45=8m^2-50m+77\)

=>\(19m^2-22m-32=0\)

=>(19m+16)(m-2)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}19m+16=0\\ m-2=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=-\frac{16}{19}\left(nhận\right)\\ m=2\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

Phương trình x 2 − mx – m − 1 = 0 có a = 1 ≠ 0 và  = m 2 – 4(m – 1)

= ( m – 2 ) 2   ≥ 0 ; m nên phương trình luôn có hai nghiệm x 1 ;   x 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có  

Xét

x 1 3   +   x 2 3   = − 1 ⇔ ( x ₁ + x ₂ ) 3 − 3 x 1 . x 2   ( x 1 + x 2 ) = − 1 ⇔ m 3 – 3 m ( - m – 1 ) = − 1

⇔ m 3 + 3 m 2 + 3 m + 1 = 0 ⇔ ( m + 1 ) 3 = 0   ⇔ m = − 1

Vậy m = −1 là giá trị cần tìm.

Đáp án: B

Phương trình x² – 2(m + 1)x + 2m = 0 có a = 1 ≠ 0 và

∆ ' = ( m + 1 ) 2 – 2 m = m 2 + 1 > 0 ;  m nên phương trình luôn có hai nghiệm x 1 ;   x 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có  x 1 + x 2 = 2 m + 1 x 1 . x 2 = 2 m

Xét x 1 3 + x 2 3 = 8   ( x ₁ + x ₂ ) 3   −   3 x 1 . x 2 ( x 1 + x 2 ) = 8

⇔ [ 2 ( m   +   1 ) ] 3   –   3 . 2 m . [ 2 ( m   +   1 ) ]   =   8

  8   ( m 3 + 3 m 2 + 3 m + 1 ) – 6 m ( 2 m + 2 ) = 8 ⇔ 8 m 3 + 12 m 2 + 12 m = 0

⇔ m   ( 2 m 2   + 3 m + 3 ) = 0

⇔ m = 0 2 m 2 + 3 m + 3 = 0

Phương trình 2 m 2 + 3 m + 3 = 0   c ó   ∆ 1 = 3 2 – 4 . 2 . 3 = − 15 < 0 nên phương trình này vô nghiệm

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Đáp án: C

ráng nhìn ha

ui chữ cj đẹp ghê

Để pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow4-4\left(m-1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow2\ge m\)

Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(1\right)\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\) 

\(x_1^4-x_1^3=x_2^4-x_2^3\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1^4-x_2^4\right)-\left(x_1^3-x_2^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2\right)-\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[2\left(x_1^2+x_2^2\right)-x_1^2-x_1x_2-x_2^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2-x_1x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x_1-x_2=0\) (2) ( vì \(x_1^2-x_1x_2+x_2^2>0;\forall x,y\))

Từ (1) (2) \(\Rightarrow x_1=x_2=1\)

\(\Rightarrow x_1x_2=m-1=1\) \(\Leftrightarrow m=2\) (Thỏa)

Vậy...

CHÀO BẠN

Áp dụng Viét

1. x1*x2=4m (1)
2. x1+x2=2(m+1) (2)

(*)       (x1+m)(x2+m)=3m^2+12

<=>x1*x2+m(x1+x2)=3m^2+12  (**)

thay (1);(2) vô (**) =>....

Mình bày hướng có chỗ nào sai tự sửa

\(\text{Δ}=\left[-2\left(m-2\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(3m-3\right)\)

\(=\left(2m-4\right)^2-4\left(3m-3\right)\)

\(=4m^2-16m+16-12m+12\)

\(=4m^2-28m+28\)

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>\(4m^2-28m+28>=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-2\cdot2m\cdot7+49-21>=0\)

=>\(\left(2m-7\right)^2>=21\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}2m-7>=\sqrt{21}\\2m-7< =-\sqrt{21}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>=\dfrac{7+\sqrt{21}}{2}\\m< =\dfrac{7-\sqrt{21}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=6\)

=>\(\left(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|\right)^2=36\)

=>\(x_1^2+x_2^2-2\left|x_1x_2\right|=36\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2\left|x_1x_2\right|=36\)

=>\(\left(-2m+4\right)^2-2\left(3m-3\right)-2\left|3m-3\right|=36\)

=>\(4m^2-16m+16-6m+6-6\left|m-1\right|=36\)

=>\(4m^2-22m+22-36=6\left|m-1\right|\)

=>\(6\left|m-1\right|=4m^2-22m-14\)(1)

TH1: m>=1

(1) tương đương với \(4m^2-22m-14=6\left(m-1\right)\)

=>\(4m^2-22m-14-6m+6=0\)

=>\(4m^2-28m-8=0\)

=>\(m^2-7m-2=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{7+\sqrt{57}}{2}\left(nhận\right)\\m=\dfrac{7-\sqrt{57}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

TH2: m<1

(1) tương đương với: \(4m^2-22m-14=6\left(1-m\right)\)

=>\(4m^2-22m-14=6-6m\)

=>\(4m^2-16m-20=0\)

=>m^2-4m-5=0

=>(m-5)(m+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m-5=0\\m+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5\left(loại\right)\\m=-1\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)