\(\frac{4000}{81}\)

đặt \(A=\frac{100}{3}+\frac{100}{3^2}+\frac{100}{3^3}+\frac{100}{3^4}\)

\(3A=100+\frac{100}{3}+\frac{100}{3^2}+\frac{100}{3^3}\)

\(3A-A=100-\frac{100}{3^4}\) hay \(2A=100-\frac{100}{3^4}\)

\(A=\frac{100-\frac{100}{3^4}}{2}\)

gọi biểu thức trên là A , ta có :

\(A=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{3^3}-\dfrac{4}{3^4}+\dfrac{5}{3^5}-...+\dfrac{99}{3^{99}}+\dfrac{100}{3^{100}}\\ 3A=1-\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{3^2}-\dfrac{4}{3^3}+...+\dfrac{99}{3^{98}}-\dfrac{100}{3^{99}}\\ \Rightarrow A+3A=\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{3^3}-\dfrac{4}{3^4}+...+\dfrac{99}{3^{99}}-\dfrac{100}{3^{100}}\right)+\left(1-\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{3^2}-\dfrac{4}{3^3}+...+\dfrac{99}{3^{98}}-\dfrac{100}{3^{99}}\right)\\ \Rightarrow4A\cdot3=12A=3-1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{98}}-\dfrac{1}{3^{99}}\)

từ đó ta được :

\(16A=3-\dfrac{100}{3^{99}}-\dfrac{100}{3^{100}}\\ \Rightarrow A=\dfrac{\dfrac{3-101}{3^{99}}-\dfrac{100}{3^{100}}}{16}\\ \Rightarrow A=\dfrac{3}{16}-\dfrac{\dfrac{101}{3^{99}}-\dfrac{100}{3^{100}}}{16}< \dfrac{3}{16}\)

help mik với 

a) 3A = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + ... + 3^100 + 3^ 101
=> 3A - A = (3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + ... + 3^100 + 3^ 101) - (1 + 3 + 3 ^2 + 3 ^ 3 + ... + 3 ^100)
=> 2A = 3^101 - 1 => A = (3^101 - 1)/2
b) 4B = 4 + 4 ^ 2 + 4 ^3 + 4 ^ 4 + ... + 4 ^ 100 + 4^ 101
=> 4B - B = (4 + 4 ^ 2 + 4 ^3 + 4 ^ 4 + ... + 4 ^ 100 + 4^ 101) - (1 + 4 + 4 ^ 2 + 4 ^3 + 4 ^ 4 + ... + 4 ^ 100 )
=> 3B = 4^101 - 1 => B = ( 4^101 - 1)/2
c) xem lại đề ý c xem quy luật như thế nào nhé.
d) 3D = 3^101 + 3^ 102 + 3^ 103 + ... + 36 150 + 3^ 151
=> 3D - D = (3^101 + 3^ 102 + 3^ 103 + ... + 36 150 + 3^ 151) - (3 ^100 + 3 ^ 101 + 3 ^ 102 + .... + 3 ^ 150)
=> 2D = 3^ 151 - 3^100 => D = ( 3^ 151 - 3^100)/2

a) Có A=\(1+3+3^2+3^3+....+3^{100}\)

\(\Rightarrow\)3A =\(3\left(1+3+3^2+3^3+...+3^{100}\right)\)=\(3+3^2+3^3+3^4+...+3^{101}\)

\(\Rightarrow2A=3+3^2+3^3+....+3^{101}-1-3-3^2-3^3-....-3^{100}=3^{101}-1\)\(\Rightarrow A=\dfrac{3^{101}-1}{2}\)

Bài b/c/d : bn cứ lm tương tự.

lx

ko có câu hỏi bn ơi

Sửa đề: Chứng minh B<1

Ta có: \(B=\frac13+\frac{2}{3^2}+\cdots+\frac{100}{3^{100}}\)

=>\(3B=1+\frac23+\cdots+\frac{100}{3^{99}}\)

=>3B-B=\(1+\frac23+\cdots+\frac{100}{3^{99}}-\frac13-\frac{2}{3^2}-\cdots-\frac{100}{3^{100}}\)

=>\(2B=1+\frac13+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)

Đặt \(A=\frac13+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{3^{99}}\)

=>\(3A=1+\frac13+\cdots+\frac{1}{3^{98}}\)

=>\(3A-A=1+\frac13+\cdots+\frac{1}{3^{98}}-\frac13-\frac{1}{3^2}-\cdots-\frac{1}{3^{99}}\)

=>\(2A=1-\frac{1}{3^{99}}=\frac{3^{99}-1}{3^{^{99}}}\)

=>\(A=\frac{3^{99}-1}{2\cdot3^{99}}\)

Ta có: \(2B=1+\frac13+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)

\(=1+\frac{3^{99}-1}{2\cdot3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}=1+\frac{3^{100}-3-200}{2\cdot3^{100}}=1+\frac12-\frac{203}{2\cdot3^{100}}\) <3/2

=>B<3/4

Vì 100:4=25 dư 0

nên \(2^{100}\) sẽ có chữ số tận cùng trùng với chữ số tận cùng của \(2^4\)

mà \(2^4=16\) có chữ số tận cùng là 6

nên \(2^{100}\) có chữ số tận cùng là 6

Vì 100:4=25 dư 0

nên \(3^{100}\) sẽ có chữ số tận cùng trùng với chữ số tận cùng của \(3^4\)

mà \(3^4=81\) có chữ số tận cùng là 1

nên \(3^{100}\) có chữ số tận cùng là 1

Vì 100:4=25 dư 0

nên \(4^{100}\) sẽ có chữ số tận cùng trùng với chữ số tận cùng của \(4^4\)

mà \(4^4=256\) có chữ số tận cùng là 6

nên \(4^{100}\) có chữ số tận cùng là 6

Vì 100:4=25 dư 0

nên \(5^{100}\) sẽ có chữ số tận cùng trùng với chữ số tận cùng của \(5^4\)

mà \(5^4=625\) có chữ số tận cùng là 5

nên \(5^{100}\) có chữ số tận cùng là 5

Vì 100:4=25 dư 0

nên \(6^{100}\) sẽ có chữ số tận cùng trùng với chữ số tận cùng của \(6^4\)

mà \(6^4=1296\) có chữ số tận cùng là 6

nên \(6^{100}\) có chữ số tận cùng là 6

Do đó: \(2^{100}+3^{100}+4^{100}+5^{100}+6^{100}\) sẽ có chữ số tận cùng trùng với chữ số tận cùng của 6+1+6+5+6

=>A có chữ số tận cùng trùng với chữ số tận cùng của 24

=>A có chữ số tận cùng là 4

a=2mu 101 - 2

b= 3 mu 2010 - 1

c=5mu 1999-1

d=4 mu n . 4 -4

a=2+2²+...+2¹⁰⁰

2a=2²+2³+2⁴+...+2¹⁰¹

a=2a-a=a

=> a= 2²+2³+2⁴+..+2¹⁰¹ -(2+2^2+...+2^100)

=>a= 2^101 -2 

Ta có: \(S=\frac13-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+\cdots-\frac{100}{3^{100}}\)

=>3S=\(1-\frac23+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{3^3}+\cdots-\frac{100}{3^{99}}\)

=>3S+S=\(1-\frac23+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{3^3}+\cdots-\frac{100}{3^{99}}+\frac13-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+\cdots-\frac{100}{3^{100}}\)

=>4S=\(1-\frac13+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\cdots-\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)

Đặt \(A=-\frac13+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\cdots-\frac{1}{3^{99}}\)

=>3A=\(-1+\frac13-\frac{1}{3^2}+\cdots-\frac{1}{3^{98}}\)

=>3A+A=\(-1+\frac13-\frac{1}{3^2}+\cdots-\frac{1}{3^{98}}-\frac13+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\cdots-\frac{1}{3^{99}}\)

=>4A=\(-1-\frac{1}{3^{99}}=\frac{-3^{99}-1}{3^{99}}\)

=>\(A=\frac{-3^{99}-1}{4\cdot3^{99}}\)

Ta có: \(4S=1-\frac13+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\cdots-\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)

=>\(4S=1+\frac{-3^{99}-1}{4\cdot3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}=1+\frac{-3^{100}-3-400}{4\cdot3^{100}}=1-\frac14-\frac{403}{4\cdot3^{100}}<\frac34\)

=>S<3/16

mà 3/16<3/15=1/5

nên S<1/5