Áp dụng Bunyakovsky, ta có :

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2=1\)

=> \(\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\)

=> \(Min_C=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Mấy cái kia tương tự 

Ta có: \(D=\frac{3x^2+2x+1}{2x^2+1}\)

\(=\frac{3x^2+1,5+2x-0,5}{2x^2+1}=\frac{1,5\left(2x^2+1\right)+2x-0,5}{2x^2+1}\)

\(=1,5+\frac{2x-0,5}{2x^2+1}\)

Đặt \(A=\frac{2x-0,5}{2x^2+1}\)

=>\(A\left(2x^2+1\right)=2x-0,5\)

=>\(2A\cdot x^2+A-2x+0,5=0\)

=>\(2A\cdot x^2-2x+A+0,5=0\) (1)

\(\Delta=\left(-2\right)^2-4\cdot2A\cdot\left(A+0,5\right)=4-8A\left(A+0,5\right)=4-8A^2-4A=-8A^2-4A+4\)

\(=-4\left(2A^2+A-1\right)=-4\left(2A^2+2A-A-1\right)=-4\left(A+1\right)\left(2A-1\right)\)

Để (1) có nghiệm thì Δ>=0

=>-4(A+1)(2A-1)>=0

=>(A+1)(2A-1)<=0

=>\(-1\le A\le\frac12\)

=>\(A\ge-1\)

=>\(\frac{2x-0,5}{2x^2+1}\ge-1\forall x\)

=>\(\frac{2x-0,5}{2x^2+1}+1,5\ge-1+1,5=0,5\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\frac{2x-0,5}{2x^2+1}=-1\)

=>\(2x^2+1=-2x+0,5\)

=>\(2x^2+2x+0,5=0\)

=>\(4x^2+4x+1=0\)

=>\(\left(2x+1\right)^2=0\)

=>2x+1=0

=>2x=-1

=>\(x=-\frac12\)

a) x² - 2x + 5 = (x - 1)² + 4 >= 4

Min là 4 khi x = 1

Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq 0$

Ta thấy: $\sqrt{x}\geq 0; 2x+1>0$ với mọi $x\geq 0$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{x}}{2x+1}\geq 0$

Vậy GTNN của biểu thức là $0$. Giá trị này đạt được khi $x=0$

Đặt \(P=\dfrac{2x^2+x}{\left(x+1\right)^2}\Rightarrow P+\dfrac{1}{4}=\dfrac{9x^2+6x+1}{4\left(x+1\right)^2}=\dfrac{\left(3x+1\right)^2}{4\left(x+1\right)^2}\ge0\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=-\dfrac{1}{3}\).

Vậy..

Ta có: \(A=\left|2x-1\right|+5\ge5\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left|2x-1\right|=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy Min(A) = 5 khi x = 1/2