Ta có \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1>0,\forall x\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\left(x-1\right)>x^2-2x+1,\forall x\in\left(0;1\right)\) (*)

Vì \(x\in\left(0;1\right)\Rightarrow x-1< 0\) nên (*) \(\Leftrightarrow-2m< \dfrac{x^2-2x+1}{x-1}=x-1=g\left(x\right),\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\le g\left(0\right)=-1\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)

Có cách nào khác nx ạ?

a: TH1: m=0

=>\(g\left(x\right)=4\cdot0\cdot x^2-4\left(0-1\right)x+0-3=4x-3\)

Với x=1 thì g(x)=4*1-3=1>0

=>g(x) không thể luôn âm với mọi x

=>Loại

TH2: m<>0

\(\Delta=\left\lbrack-4\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot4m\left(m-3\right)\)

\(=16\left(m^2-2m+1\right)-16m\left(m-3\right)=16m^2-32m+16-16m^2+48m\)

=16m+16

Để g(x) luôn âm với mọi x thì Δ<0 và a<0

=>16m+16<0 và 4m<0

=>m<-1 và m<0

=>m<-1

b: \(\Delta=\left\lbrack-2\left(m+2\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(-2m^2+3m+4\right)\)

\(=4\left(m_{}^2+4m+4\right)+8m^2-12m-16\)

\(=4m^2+16m+16+8m^2-12m-16=12m^2+4m\) =4m(3m+1)

Để f(x)>=0 với mọi x thì Δ<=0 và a>0

=>4m(3m+1)<=0 và 1>0

=>m(3m+1)<=0

=>-1/3<=m<=0

Nếu phương trình là \(\left(2m^2-5m+2\right)\left(x-1\right)^{2021}\left(x^{2020}-2\right)+2x^2-3=0\) thì còn có cơ hội giải quyết

Chứ đề đúng thế này thì e rằng không có cơ hội nào cả.

a, \(\left(x+m\right)m+x>3x+4\)

\(\Leftrightarrow mx+m^2+x>3x+4\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)x+m^2-4>0\left(1\right)\)

Nếu \(m=0,\) bất phương trình vô nghiệm

Nếu \(m>0\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x>-m-2\)

\(\Rightarrow x\in\left(-m-2;+\infty\right)\)

\(\Rightarrow m>0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Nếu \(m< 0\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x< -m-2\)

\(\Rightarrow\) Không thỏa mãn

Vậy \(m>0\)

b, \(m\left(x-m\right)\ge x-1\)

\(\Leftrightarrow mx-m^2\ge x-1\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)x\ge m^2-1\left(1\right)\)

Nếu \(m=1,\) bất phương trình thỏa mãn

Nếu \(m>1\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x\ge m+1\)

\(\Rightarrow m>1\) không thỏa mãn yêu cầu

Nếu \(m< 1\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x\le m+1\)

\(\Rightarrow m< 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy \(m< 1\)