Ta có: \(h\left(x\right)=x^3+bx^2+cx-5\)

\(=x^3+x^2+x+\left(b-1\right)x_{}^2+\left(b-1\right)x+\left(b-1\right)\) +(c-b+1)x-b+1-5

\(=\left(x^2+x+1\right)\left(x+b-1\right)+\left(c-b+1\right)x-b-4\)

Để h(x)⋮k(x) thì c-b+1=0 và -b-4=0

=>b=-4 và c=b-1=-4-1=-5

ko hiểu

Đặt \(Q\left(x\right)=P\left(x\right)-x^2-2\) (1)

\(\Rightarrow Q\left(1\right)=P\left(1\right)-1^2-2=3-3=0\) 

\(Q\left(3\right)=P\left(3\right)-3^2-2=11-9-2=0\)

\(Q\left(5\right)=P\left(5\right)-5^2-2=27-25-2=0\)

\(\Rightarrow Q\left(x\right)=0\) có ít nhất 3 nghiệm \(x=1;x=3;x=5\)

Mà \(P\left(x\right)\) bậc 4 có hệ số \(x^4\) là 1 nên \(Q\left(x\right)\) bậc 4 và cũng có hệ số của \(x^4\) là 1

\(\Rightarrow Q\left(x\right)\) có dạng:

\(Q\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-k\right)\) với k là số thực nào đó

Thế vào (1)

\(\Rightarrow P\left(x\right)=Q\left(x\right)+x^2+2=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-k\right)+x^2+2\)

\(\Rightarrow P\left(-2\right)=-105\left(-2-k\right)+6=316+105k\)

\(P\left(6\right)=15\left(6-k\right)+38=128-15k\)

\(\Rightarrow S=316+105k+7\left(128-15k\right)=1212\)