Cho a+b+c=2m. Chứng minh 2ab+b2+c2-a2=4m(m-a)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 4 2023
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^2+b^2+c^2\ge2ab-2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2bc-2a\left(b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(b+c\right)^2-2a\left(b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
9 tháng 12 2021
Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác nên \(a+b>c\Leftrightarrow ac+bc>c^2\)
CMTT: \(ab+bc>b^2;ab+ac>a^2\)
Cộng vế theo vế \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< ab+bc+ca+ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< 2ab+2bc+2ca\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca< 0\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
5 tháng 7 2021
Thêm điều kiện: a,b,c thỏa mãn là các cạnh của một tam giác
Ta có: \(a< b+c\)
nên \(a^2< ab+ac\)
Ta có: b<a+c
nên \(b^2< ab+bc\)
Ta có: c<a+b
nên \(c^2< ac+bc\)
Do đó: \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\)
3 tháng 4 2022
\(a,\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{c^2}=\dfrac{c^2}{b^2}=\dfrac{a^2+c^2}{b^2+c^2}\left(1\right)\)
Mà \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow ab=c^2\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c^2}{b^2}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\tođpcm\)
\(b,\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow ab=c^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b^2-a^2}{a^2+c^2}=\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a^2+ab}=\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a\left(a+b\right)}=\dfrac{b-a}{a}\left(đpcm\right)\)
CM
3 tháng 4 2019
Trong tam giác ABC, theo Hệ quả định lý Cô sin ta luôn có :
Mà ta có 2.bc > 0 nên cos A luôn cùng dấu với b2 + c2 – a2.
a) Góc A nhọn ⇔ cos A > 0 ⇔ b2 + c2 – a2 > 0 ⇔ a2 < b2 + c2.
b) Góc A tù ⇔ cos A < 0 ⇔ b2 + c2 – a2 < 0 ⇔ a2 > b2 + c2.
c) Góc A vuông ⇔ cos A = 0 ⇔ b2 + c2 – a2 = 0 ⇔ a2 = b2 + c2.
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
30 tháng 10
Ta cần chứng minh:
\((p^2-a^2-b^2)(q^2-c^2-d^2)\leq(pq-ac-bd)^2\).
Ta có:
\[ (pq-ac-bd)^2-(p^2-a^2-b^2)(q^2-c^2-d^2) \]Khai triển và thu gọn:
\[ =p^2q^2-2pq(ac+bd)+(ac+bd)^2 \] \[ -p^2q^2+p^2(c^2+d^2)+q^2(a^2+b^2) -(a^2+b^2)(c^2+d^2) \] \[ =p^2(c^2+d^2)+q^2(a^2+b^2) -2pq(ac+bd) \] \[ +(ac+bd)^2-(a^2+b^2)(c^2+d^2) \]Mà:
\[ (ac+bd)^2-(a^2+b^2)(c^2+d^2) =-(ad-bc)^2 \]Nên biểu thức trên bằng:
\[ p^2(c^2+d^2)+q^2(a^2+b^2) -2pq(ac+bd)-(ad-bc)^2 \]Ta biến đổi tiếp:
\[ =(pd-qc)^2+(pb-qd)^2 \]Vì bình phương của một số luôn không âm nên:
\[ (pd-qc)^2+(pb-qd)^2\geq0 \]Suy ra:
\[ (p^2-a^2-b^2)(q^2-c^2-d^2) \leq(pq-ac-bd)^2 \]Điều phải chứng minh.
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
13 tháng 6 2023
2:
a: =>a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2<=0
=>-(a^2-2ab+b^2)<=0
=>(a-b)^2>=0(luôn đúng)
b; =>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-3a^2-3b^2-3c^2<=0
=>-(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)<=0
=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)