Đặt DE = x thì CE = 1 - x thì CF = CE = 1 - x , AE ² = x² + 1

Từ CE² + CF²  = EF² , ta có 2 ( 1 - x ) ² = x² + 1.

 Đưa về phương trình

x²  - 4x + 4 = 3 <=> (x-2)² = 3 <=> x = 2 +- \(\sqrt{3}\)

^{Do x < 1 nên ta chọn x = 2 -\(\sqrt{3}\)}

EF = ( 1 - x ) \(\sqrt{2}\)= (\(\sqrt{3}\)- 1 )\(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{6}\)- \(\sqrt{2}\)(dm)

Có: \(\Delta ADE=\Delta ABF=CF=CE\)

Lại có: \(\hept{\begin{cases}2CF^2=EF^2\\\left(1-CF\right)^1+1=EF^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow EF\)

Xét △ABF và △ADE có:

∠ABC=∠ADE (=90^o), AD=AB (ABCD là hcn), AE=AF (△AEF đều)

=> △ABF = △ADE (ch - cgv)

=> ∠BAF=∠DAE=(90-60)/2=15^o

=> AFB=75^o

=> AF=1/sin 75 =\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\) dm

a, Ta có ∆ABE = ∆ADF(g.c.g) => AE = AF

b, Ta có: ∆AKF ~ ∆CAF ( F ^ chung và  F A K ^ = F C A ^ = 45 0 )

=> A F H F = C F A F =>  A F 2 = K F . C F

c, S A E F = 93 2 c m 2

d, Ta có: AE.AJ=AF.AJ=AD.FJ

=>  A E . A J F J = AD không đổi

a: Ta có: \(\hat{BAE}+\hat{DAE}=\hat{BAD}=90^0\)

\(\hat{FAD}+\hat{DAE}=\hat{FAE}=90^0\)

Do đó: \(\hat{BAE}=\hat{DAF}\)

Xét ΔABE vuông tại B và ΔADF vuông tại D có

AB=AD
\(\hat{BAE}=\hat{DAF}\)

Do đó: ΔABE=ΔADF
=>AE=AF
=>ΔAEF cân tại A

Xét ΔAEF cân tại A có \(\hat{EAF}=90^0\)

nên ΔAEF vuông cân tại A

ΔAEF vuông cân tại A

mà AK là đường trung tuyến

nên AK là phân giác của góc FAE

=>\(\hat{FAK}=\hat{EAK}=\frac12\cdot\hat{FAE}=45^0\)

ABCD là hình vuông

=>CA là phân giác của góc BCD

=>\(\hat{DCA}=\hat{BCA}=45^0\)

Xét ΔFAK và ΔFCA có

\(\hat{FAK}=\hat{FCA}\left(=45^0\right)\)

góc AFK chung

Do đó: ΔFAK~ΔFCA

=>\(\frac{FA}{FC}=\frac{FK}{FA}\)

=>\(FA^2=FK\cdot FC\)

b: Xét ΔAFK và ΔAEK có

AF=AE
\(\hat{FAK}=\hat{EAK}\)

AK chung

Do đó: ΔAFK=ΔAEK

=>KF=KE

ΔADF=ΔABE

=>DF=BE

CHu vi tam giác EKC là:

EK+KC+EC

=KF+KC+EC

=FC+EC

=DC+FD+EC

=DC+BE+EC

=DC+BC

=2BC không đổi

a: Ta có: \(\hat{BAE}+\hat{DAE}=\hat{BAD}=90^0\)

\(\hat{FAD}+\hat{DAE}=\hat{FAE}=90^0\)

Do đó: \(\hat{BAE}=\hat{DAF}\)

Xét ΔABE vuông tại B và ΔADF vuông tại D có

AB=AD
\(\hat{BAE}=\hat{DAF}\)

Do đó: ΔABE=ΔADF
=>AE=AF
=>ΔAEF cân tại A

Xét ΔAEF cân tại A có \(\hat{EAF}=90^0\)

nên ΔAEF vuông cân tại A

ΔAEF vuông cân tại A

mà AK là đường trung tuyến

nên AK là phân giác của góc FAE

=>\(\hat{FAK}=\hat{EAK}=\frac12\cdot\hat{FAE}=45^0\)

ABCD là hình vuông

=>CA là phân giác của góc BCD

=>\(\hat{DCA}=\hat{BCA}=45^0\)

Xét ΔFAK và ΔFCA có

\(\hat{FAK}=\hat{FCA}\left(=45^0\right)\)

góc AFK chung

Do đó: ΔFAK~ΔFCA

=>\(\frac{FA}{FC}=\frac{FK}{FA}\)

=>\(FA^2=FK\cdot FC\)

b: Xét ΔAFK và ΔAEK có

AF=AE
\(\hat{FAK}=\hat{EAK}\)

AK chung

Do đó: ΔAFK=ΔAEK

=>KF=KE

ΔADF=ΔABE

=>DF=BE

CHu vi tam giác EKC là:

EK+KC+EC

=KF+KC+EC

=FC+EC

=DC+FD+EC

=DC+BE+EC

=DC+BC

=2BC không đổi