O M I D C A B

(Trình vẽ hình còn non!)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}MA=MB\\OA=OB=R\end{cases}}\)(MA=MB vì tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M)

\(\Rightarrow OM\)là trung trực của \(AB\)

\(\Rightarrow IA=IB\)và \(OM⊥AB\)tại \(I\)

Xét \(\Delta BCM\)và \(\Delta BDM\)có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{DMB}:chung\\\widehat{BDM}=\widehat{CBM}\end{cases}}\)(Góc BDM = góc CBM vì cùng chắn cung BC)

\(\Rightarrow\Delta BCM~\Delta DCM\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{MB}{MD}=\frac{MC}{MB}\)

\(\Rightarrow MB.MB=MC.MD\)

\(\Rightarrow MB^2=MC.MD\)

Xét \(\Delta OMB\)vuông tại \(B\), đường cao \(BI\)có:

\(MB^2=MI.MO\)

Mà: \(MB^2=MD.MC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MD.MC=MI.MO\left(đpcm\right)\)

a: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥CD tại I

Ta có: \(\hat{MIO}=\hat{MAO}=90^0\)

=>O,I,A,M cùng thuộc đường tròn đường kính OM

=>MAOI là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\hat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC

\(\hat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{MAC}=\hat{ADC}\)

Xét ΔMAC và ΔMDA có

\(\hat{MAC}=\hat{MDA}\)

\(\hat{AMC}\) chung

Do đó: ΔMAC~ΔMDA

=>\(\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}\)

=>\(MA^2=MD\cdot MC\)

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: OM là phân giác của góc AOB

ΔOAB cân tại O

mà OM là đường phân giác

nên OM⊥AB tại H

Xét ΔMAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\)

=>\(MH\cdot MO=MC\cdot MD\)

=>\(\frac{MH}{MD}=\frac{MC}{MO}\)

Xét ΔMHC và ΔMDO có

\(\frac{MH}{MD}=\frac{MC}{MO}\)

góc HMC chung

Do đó: ΔMHC~ΔMDO

=>\(\hat{MHC}=\hat{MDO}\)

mà \(\hat{MHC}+\hat{OHC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{OHC}+\hat{ODC}=180^0\)

=>OHCD là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔMAC và ΔMDA có

góc MAC=góc MDA

góc AMC chung

=>ΔMAC đồng dạng với ΔMDA

=>MA^2=MC*MD=MH*MO

=>MC/MO=MH/MD

=>ΔMCH đồng dạng với ΔMOD

=>góc MCH=góc MOD

=>góc HOD+góc HCD=180 độ

=>HODC nội tiếp

a: góc MAO+góc MBO=180 độ

=>MAOB nội tiếp

Xét (O) có

MA,MB là tiếp tuyến

=>MA=MB

mà OA=OB

nên OM là trung trực của AB

=>OM vuông góc AB

b: góc CAE=1/2*180=90 độ

Xét ΔOAM vuông tại A và ΔCAS vuông tại A có

góc AOM=góc ACS

=>ΔOAM đồng dạng với ΔCAS

Xét tứ giác MIOK có

\(\widehat{MIO}+\widehat{MKO}=90^0+90^0=180^0\)

=>MIOK là tứ giác nội tiếp

=>M,I,O,K cùng thuộc một đường tròn

lấy A là trung điểm của OM,xét tam giác OMI có:
A là trung điểm của OM
O,M,I thuộc 1 đường tròn. (1)
Xét tam giác OMK có A là trung điểm của OM
O,M,K thuộc 1 đường tròn (2)
từ (1) và (2) suy ra 4 điểm M,I,O,K cùng thuộc 1 đường tròn
 

1: ΔODE cân tại O

mà OM là đường cao

nên M là trung điểm của DE

Xét tứ giác ADBE có

M là trung điểm chung của AB và DE

=>ADBE là hình bình hành

Hình bình hành ADBE có AB⊥DE

nên ADBE là hình thoi

2: Xét (O') có

ΔBIC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBIC vuông tại I

=>BI⊥DC tại I

Xét tứ giác DMBI có \(\hat{DMB}+\hat{DIB}=90^0+90^0=180^0\)

nên DMBI là tứ giác nội tiếp

1: ΔODE cân tại O

mà OM là đường cao

nên M là trung điểm của DE

Xét tứ giác ADBE có

M là trung điểm chung của AB và DE

=>ADBE là hình bình hành

Hình bình hành ADBE có AB⊥DE

nên ADBE là hình thoi

2: Xét (O') có

ΔBIC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBIC vuông tại I

=>BI⊥DC tại I

Xét tứ giác DMBI có \(\hat{DMB}+\hat{DIB}=90^0+90^0=180^0\)

nên DMBI là tứ giác nội tiếp