a: \(a^2+4a=b^2+4b+1\)

=>\(a^2+4a-b^2-4b=0\)

=>(a-b)(a+b)+4(a-b)=0

=>(a-b)(a+b+4)=0

mà a-b<>0

nên a+b+4=0

=>a+b=-4

b: Đặt \(X=a^3+b^3\)

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)

\(=\left(-4\right)^3-3ab\cdot\left(-4\right)=-64+12ab\)

\(a^2+4a=1\)

=>\(a^2+4a-1=0\)

=>\(a^2+4a+4-5=0\)

=>\(\left(a+2\right)^2=5\)

=>\(\left[\begin{array}{l}a+2=\sqrt5\\ a+2=-\sqrt5\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}a=\sqrt5-2\\ a=-\sqrt5-2\end{array}\right.\)

\(b^2+4b=1\)

=>\(b^2+4b-1=0\)

=>\(b^2+4b+4-5=0\)

=>\(\left(b+2\right)^2=5\)

=>\(\left[\begin{array}{l}b+2=\sqrt5\\ b+2=-\sqrt5\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}b=\sqrt5-2\\ b=-\sqrt5-2\end{array}\right.\)

Vì a<>b nên sẽ có hai trường hợp sau:

TH1: \(a=\sqrt5-2;b=-\sqrt5-2\)

=>\(ab=\left(\sqrt5-2\right)\left(-\sqrt5-2\right)=-\left(\sqrt5-2\right)\left(\sqrt5+2\right)=-1\)

X=-64+12ab

=-64-12

=-76

TH2: \(a=-\sqrt5-2;b=\sqrt5-2\)

=>\(ab=\left(\sqrt5-2\right)\left(-\sqrt5-2\right)=-\left(\sqrt5-2\right)\left(\sqrt5+2\right)=-1\)

X=-64+12ab

=-64-12

=-76

Vậy: X=-76

c: Đặt \(Y=a^4+b^4\)

\(=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2\)

\(=\left\lbrack\left(a+b\right)^2-2ab\right\rbrack^2-2\cdot\left(ab\right)^2\)

\(=\left\lbrack\left(-4\right)^2-2\cdot\left(-1\right)\right\rbrack^2-2\cdot\left(-1\right)^2=\left\lbrack16+2\right\rbrack^2-2\)

\(=18^2-2\)

=324-2

=322

\(a^2+b^2=a^3+b^3=a^4+b^4\)

\(\Rightarrow\left(a^3+b^3\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\)

\(\Rightarrow a^6+b^6+2a^3b^3=a^6+b^6+a^2b^4+a^4b^2\)

\(\Rightarrow2a^3b^3=a^2b^2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow2ab=a^2+b^2\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a=b\)

Thế vào \(a^2+b^2=a^3+b^3\)

\(\Rightarrow a^2+a^2=a^3+a^3\Rightarrow2a^3=2a^2\Rightarrow a=b=1\)

\(\Rightarrow a+b=2\)

a^2 hay a.2 thế

a^2 bn ạ!!
 

,

Ngắn gọn thì đây là 1 bài toán không giải được (min max tồn tại, nhưng không thể tìm được)

Cực trị xảy ra tại \(x=\dfrac{a}{b}\) là nghiệm của pt bậc 4:

\(7x^4+11x^3-3x^2-4x-2=0\)

Là một pt không thể phân tích về các pt bậc thấp hơn

Ta có: a + b + c = 0

\(\Rightarrow\) (a + b + c)² = 0

\(\Leftrightarrow\) a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = 0

\(\Leftrightarrow\) 2009 + 2(ab + bc + ac) = 0

\(\Leftrightarrow\) ab + bc + ac = \(\dfrac{-2009}{2}\)

\(\Leftrightarrow\) (ab + bc + ac)² = \(\left(\dfrac{-2009}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) a²b² + b²c² + a²c² + 2abc(a + b + c) = \(\left(\dfrac{-2009}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) a²b² + b²c² + c²a² = \(\left(\dfrac{-2009}{2}\right)^2\)    (Vì a + b + c = 0)

Lại có: a² + b² + c² = 2009

\(\Rightarrow\) (a² + b² + c²)² = 2009²

\(\Leftrightarrow\) a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2(a²b² + b²c² + c²a²) = 2009²

\(\Leftrightarrow\) a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2.\(\dfrac{2009^2}{4}\) = 2009²

\(\Leftrightarrow\) a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2009² - \(\dfrac{2009^2}{2}\) = 2018040,5

Chúc bn học tốt!

Ko mất tính tổng quát giả sử \(a_1=\text{max}\left\{a_2;a_3;a_4;a_5\right\}\).

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+a_4a_5\le a_1\left(a_2+a_3+a_4+a_5\right)\)

\(\le\frac{\left(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

Xảy ra khi có 2 số bằng \(\frac{1}{2}\) và 3 số còn lại bằng 0