dễ mà tính chất đường trung bình của tam giác suy ra diều phải chứng minh

rồi xét các tam giác còn lại 

Nối A với D

Gọi K là trung điểm BD

Xét tam giác ABD có:

Mlà trung điểm AD

K là trung điểm BD

=> MK là đường trung bình

\(\Rightarrow MK=\dfrac{1}{2}AB\left(1\right)\)

Xét tam giác BDC có:

K là trung điểm BD

N là trung điểm BC

=> NK là đường trung bình

\(\Rightarrow NK=\dfrac{1}{2}DC\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow MK+NK=\dfrac{1}{2}\left(BC+DC\right)\)

Mà \(MK+NK\ge MN\)(bất đẳng thức trong tam giác KMN)

\(\Rightarrow MN\le\dfrac{AB+DC}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow MK+NK=MN\)

\(\Leftrightarrow\) K là trung điểm MN

Ta có :

MN = AB+CD2AB+CD2

=> MN là đường trung bình của tứ giác ABCD

=> MN // AB , MN// DC

=> AB // CD

Trong tứ giác ABCD , có :

AB // CD (cmt)

=> ABCD là ht (DHNB)

học tốt

Ta có:

MN=AB+CD2MN=AB+CD2

=> MN là đường trung bình

=> MN//CD;MN//AB

=> AB//CD

=> tứ giác ABCD là hình thang

học tốt

a: \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\)

\(=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}\)

\(=\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}\right)+2\cdot\overrightarrow{MN}+\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\right)=2\cdot\overrightarrow{MN}\) (1)

\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}\)

\(=\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}\right)+2\cdot\overrightarrow{MN}+\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\right)=2\cdot\overrightarrow{MN}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\cdot\overrightarrow{MN}\)