a:

Xét tứ giác ABCD có

AB//CD
AD//BC

Do đó: ABCD là hình bình hành

b:

Xét ΔABD và ΔCDB có

AB=CD

\(\hat{ABD}=\hat{CDB}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

BD chung

Do đó: ΔABD=ΔCDB

=>\(\hat{ADB}=\hat{CBD}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AD//BC

Xét tứ giác ABCD có

AB//CD

AD//BC

Do đó: ABCD là hình bình hành

Định lý 2 (phát biểu)

a) Nếu tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau (theo độ dài) thì tứ giác đó là hình bình hành.
b) Nếu tứ giác có **một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau thì tứ giác đó là hình bình hành.

Ký hiệu chung cho cả hai phần

Gọi tứ giác \(A B C D\) theo thứ tự (cạnh \(A B , B C , C D , D A\)).
Gọi \(A C\) là một đường chéo.

Cách vẽ hình minh họa (vẽ tay):

1. Vẽ tứ giác bất kì \(A B C D\) (không bắt buộc là hình bình hành).
2. Vẽ đường chéo \(A C\).
3. Đánh dấu các cạnh bằng nhau hoặc song song theo đề bài (dấu “=” cho bằng, mũi tên song song cho song song).
4. Ta sẽ dùng hai tam giác \(\triangle A B C\) và \(\triangle C D A\) để so sánh.

Phần (a) — Chứng minh:

Giả thiết: \(A B = C D\) và \(B C = A D\).
Phải chứng minh: \(A B \parallel C D\) và \(B C \parallel A D\) (tức là \(A B C D\) là hình bình hành).

Chứng minh:

1. Xét hai tam giác \(\triangle A B C\) và \(\triangle C D A\).
2. • \(A B = C D\) (giả thiết).
   • \(B C = A D\) (giả thiết).
   • \(A C\) là cạnh chung.
     Vậy theo tiêu chí SSS (ba cạnh bằng nhau), ta có \(\triangle A B C \cong \triangle C D A\).
3. Từ đồng dư hai tam giác, các góc tương ứng bằng nhau. Cụ thể:
4. • \(\angle B A C = \angle D C A\).
   • \(\angle B C A = \angle D A C\).
5. Quan sát: \(\angle B A C\) là góc giữa đường thẳng \(B A\) và \(A C\); \(\angle D C A\) là góc giữa đường thẳng \(D C\) và \(C A\). Vì hai góc ấy bằng nhau và cùng liên quan đến đường thẳng \(A C\), suy ra đường thẳng \(B A\) song song với đường thẳng \(D C\), tức \(A B \parallel C D\).
   Tương tự, từ \(\angle B C A = \angle D A C\) suy ra \(B C \parallel A D\).
6. Vậy hai cặp cạnh đối của \(A B C D\) song song nhau nên \(A B C D\) là hình bình hành. □

Phần (b) — Chứng minh:

Giả thiết: Một cặp cạnh đối (ví dụ \(A B\) và \(C D\)) song song và bằng nhau (tức \(A B \parallel C D\) và \(A B = C D\)).
Phải chứng minh: \(A B C D\) là hình bình hành (tức còn cặp cạnh kia cũng song song).

Chứng minh:

1. Xét hai tam giác \(\triangle A B C\) và \(\triangle C D A\) như trên.
2. • \(A B = C D\) (giả thiết).
   • \(A C\) là cạnh chung.
   • Vì \(A B \parallel C D\), nên góc giữa \(B A\) và \(A C\) bằng góc giữa \(D C\) và \(C A\). Tức \(\angle B A C = \angle D C A\).
3. Ta có trong hai tam giác \(\triangle A B C\) và \(\triangle C D A\):
4. • Một cạnh bằng (\(A B = C D\)),
   • Một cạnh chung (\(A C\)),
   • Góc giữa hai cạnh này bằng (\(\angle B A C = \angle D C A\)).
     Do đó theo tiêu chí SAS (cạnh-góc-cạnh), \(\triangle A B C \cong \triangle C D A\).
5. Từ đồng dư suy ra \(B C = A D\) (các cạnh tương ứng bằng nhau) và đồng thời các góc tương ứng bằng nhau. Do đó \(\angle B C A = \angle D A C\), suy ra \(B C \parallel A D\).
6. Vì \(A B \parallel C D\) đã có và giờ \(B C \parallel A D\) vừa chứng minh, nên \(A B C D\) là hình bình hành. □

Ghi chú/trực quan hóa

• Cả hai chứng minh đều dùng đồng dư tam giác (SSS hoặc SAS) qua đường chéo \(A C\).
• Kết luận: chứng minh ra hai cạnh tương ứng song song → định nghĩa hình bình hành được thỏa mãn.
• Khi vẽ hãy:
• • Vẽ \(A B C D\) và đường chéo \(A C\).
  • Đánh dấu các cạnh bằng nhau (dấu “=”) hoặc mũi tên song song (nếu có song song).
  • Chú thích tam giác \(\triangle A B C\) và \(\triangle C D A\) để thấy rõ các cạnh tương ứng.

Từ giả thiết ta có AH song song CK (1) (cùng vuông góc BD)

Xét hai tam giác vuông ABH và CDK có:

AB=DC (ABCD là hình bình hành)

∠ABH=∠CDK (so le trong)

\(\Rightarrow\Delta_{\bot}ABH=\Delta_{\bot}CDK\left(\ch-gn\right)\)

=>AH=CK (2)

Từ (1) và (2) =>AHCK là hbh (tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

ta có

\(A H \bot B D\), \(C K \bot B D\)
⇒ \(A H \parallel C K\) (hai đường cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau)

Trong hình bình hành \(A B C D\): \(A C \parallel B D\)
Mà \(A H \bot B D\), \(C K \bot B D\) ⇒ \(A H , C K \bot A C\)
⇒ \(H C \parallel A K\)

Vậy

tứ giác \(A H C K\) có hai cặp cạnh đối song song
Do đó \(A H C K\) là hình bình hành

Theo giả thiết, do AH và CK cùng vuông góc BD

=> AH song song CK (1)

Do AH vuông góc BD và CK vuông góc BD nên các tam giác ABH và tam giác CDK là các tam giác vuông.

Xét hai tam giác vuông ABH và CDK có:

AB=CD (hai cạnh đối hình bình hành)

∠ABH=∠CDK (hai góc so le trong)

\(\Rightarrow\Delta_{\bot}ABH=\Delta_{\bot}CDK\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=>AH=CK (2)

Từ (1) và (2) =>AHCK là hbh

( AG và AF chia BD thành 3 đoạn bạn ạ)

gọi H là giao điểm củaDE và AC, K là giao điểm của BG và AC

Cm cho tứ giác BEDG là hình hành ta đc DE//BG

Xét Tam giác  ABK có HE//BK

Theo định lí Ta let ta có AH/HK=AE/EB=1

=>AH=HK

CM tương tự như vậy vs tam giác DCH đc HK=KC

=> đpcm