Δ=(2m)^2-4(-2m-1)

=4m^2+8m+4=(2m+2)^2

Để pt có hai nghiệm pb thì 2m+2<>0

=>m<>-1

x1+x2=-2m; x1x2=-2m-1

x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2

=(-2m)^2-2(-2m-1)

=4m^2+4m+2

\(\dfrac{6}{x1}=\dfrac{x1+1}{x2}\)

=>x1^2+x1-6x2=0

=>4m^2+4m+2-x2^2+-2m-x2-6x2=0

=>-x2^2-7x2+4m^2+2m+2=0

=>\(x_2^2+7x_2-4m^2-2m-2=0\)(1)

\(\text{Δ}=7^2-4\left(-4m^2-2m-2\right)\)

\(=49+16m^2+8m+8\)

=16m^2+8m+57

=16m^2+8m+1+56=(4m+1)^2+56>=56>0

=>(1)luôn có nghiệm

Xét phương trình: \(x^2-2\left(m+3\right)x+2m+5=0\Rightarrow\Delta'=\left(m+3\right)^2-2m-5=\left(m+2\right)^2\ge0\) .

Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm và để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \(m\ne-2.\)

Theo định lý viet thì ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+6\\x_1x_2=2m+5\end{cases}}\). Do đó: \(m>-\frac{5}{2}\)\(\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}=\frac{4}{3}\Rightarrow\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2\sqrt{\frac{1}{x_1x_2}}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+2\sqrt{\frac{1}{2m+5}}=\frac{16}{9}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2m+6}{2m+5}+2\sqrt{\frac{1}{2m+5}}=\frac{1}{2m+5}+2\sqrt{\frac{1}{2m+5}}+1=\left(\sqrt{\frac{1}{2m+5}}+1\right)^2=\frac{16}{9}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{2m+5}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow\frac{1}{2m+5}=\frac{1}{9}\Leftrightarrow2m+5=9\Leftrightarrow m=2.\)

Vậy \(m=2.\)

\(\Delta'=1-4\left(2m-4\right)>0\Rightarrow m< \dfrac{17}{8}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-1\\x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)

Từ \(x_1+x_2=-1\Rightarrow x_2=-1-x_1\)

Thế vào \(x_1^2=2x_2+5\)

\(\Rightarrow x_1^2=2\left(-1-x_1\right)+5\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1-3=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=1\Rightarrow x_2=-2\\x_1=-3\Rightarrow x_2=2\end{matrix}\right.\)

Thế vào \(x_1x_2=2m-4\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2m-4=-2\\2m-4=-6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)

\(\Delta=\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot\left(2m-2\right)\)

=25-8m+8

=-8m+33

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>-8m+33>0

=>-8m>-33

=>\(m<\frac{33}{8}\)

Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-2\end{cases}\)

Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì:

\(\begin{cases}\Delta>0\\ x_1+x_2>0\\ x_1\cdot x_2>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}m<\frac{33}{8}\\ 5>0\left(đúng\right)\\ 2m-2>0\end{cases}\Rightarrow1

Vì x1 là nghiệm của phương trình nên ta có: \(x_1^2-5\cdot x_1+2m-2=0\)

=>\(x_1^2-4\cdot x_1+2m-2=x_1\)

=>\(\sqrt{x_1^2-4x_1+2m-2}=\sqrt{x_1}\)

Ta có: \(\sqrt{x_1^2-4x_1+2m-2}+\sqrt{x_2}=3\)

=>\(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=3\)

=>\(x_1+x_2+2\cdot\sqrt{x_1x_2}=9\)

=>\(5+2\cdot\sqrt{2m-2}=9\)

=>\(2\cdot\sqrt{2m-2}=9-5=4\)

=>\(\sqrt{2m-2}=2\)

=>2m-2=4

=>2m=6

=>m=3(nhận)

1) \(x^2-2mx+m-2=0\) (1) 

pt (1) có \(\Delta'=\left(-m\right)^2-\left(m-2\right)=m^2-m+2=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\left(\forall m\right)\) 

=> pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ 

Vi-et: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-2\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(M=\frac{2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}=\frac{2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)}{\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}=\frac{2m-4-2m}{\left(2m\right)^2-8m-16}\)

\(=\frac{-4}{4m^2-8m-16}=\frac{-4}{4\left(m-1\right)^2-20}\ge\frac{-4}{-20}=\frac{1}{5}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(m=1\)

xin 1slot sáng giải

Pt có 2 nghiệm khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\Delta=9\left(m+1\right)^2-4m\left(2m+4\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m^2+2m+9\ge0\left(luôn-đúng\right)\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-3\left(m+1\right)}{m}\\x_1x_2=\dfrac{2m+4}{m}\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{9\left(m+1\right)^2}{m^2}-\dfrac{2\left(2m+4\right)}{m}=4\)

\(\Leftrightarrow9\left(m+1\right)^2-2m\left(2m+4\right)=4m^2\)

\(\Leftrightarrow m^2+10m+9=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=-9\end{matrix}\right.\)