Gọi tổng là S

\(S=1+\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+...+\left(5^{2007}+5^{2008}\right)\)

\(S=1+5.6+5^3.6+....+5^{2007}.6\)

\(S=1+6.\left(5+5^3+...+5^{2007}\right)\)

Vậy S chia 6 dư 1

\(S=\left(1+5+5^2\right)+\left(5^3+5^4+5^5\right)+....+\left(5^{2006}+5^{2007}+5^{2008}\right)\)

\(S=31.1+31.5^3+....+31.5^{2007}\)

\(S=31.\left(1+5^3+....+5^{2007}\right)\)

Vậy S chia hết cho 31 hay S chia 31 dư 0

Bài 3:

Đặt \(A=5+5^2+5^3+\cdots+5^{2021}\)

\(=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4+5^5\right)+\left(5^6+5^7+5^8\right)+\cdots+\left(5^{2019}+5^{2020}+5^{2021}\right)\)

\(=30+5^3\left(1+5+5^2\right)+5^6\left(1+5+5^2\right)+\cdots+5^{2019}\left(1+5+5^2\right)\)

\(=30+31\left(5^3+5^6+\cdots+5^{2018}\right)\)

=>A chia 31 dư 30

Bài 4:

Ta có: \(10=2\cdot5;12=2^2\cdot3;15=3\cdot5\)

=>BCNN(10;12;15)=\(2^2\cdot3\cdot5=4\cdot3\cdot5=12\cdot5=60\)

Gọi số học sinh khối 6 của trường đó là x(bạn)

(Điều kiện: x∈N*)

Số học sinh khối 6 khi xếp hàng 10;12;15 thì đều dư 5 bạn

=>x-5∈BC(10;12;15)

=>x-5∈B(60)

=>x-5∈{60;120;...;360;420;480;...}

=>x∈{65;125;...;365;425;485;...}

mà 380<=x<=450

nên x=425(nhận)

Vậy: Khối 6 trường đó có 425 học sinh

\(B=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{2009}+3^{2010}\)

\(=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{2009}+3^{2010}\right)\)

\(=3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+...+3^{2009}\left(1+3\right)\)

\(=4.\left(3+3^3+...+3^{2009}\right)\)

⇒ \(B\) ⋮ 4

b: \(C=5\left(1+5+5^2\right)+...+5^{2008}\left(1+5+5^2\right)=31\cdot\left(5+...+5^{2008}\right)⋮31\)

Lời giải:
a. $(x-3)(y+1)=5=1.5=5.1=(-1)(-5)=(-5)(-1)$
Vì $x-3, y+1$ cũng là số nguyên nên ta có bảng sau:

b.

$A=21+5+(5^2+5^3)+(5^4+5^5)+....+(5^{98}+5^{99})$

$=26+5^2(1+5)+5^4(1+5)+....+5^{98}(1+5)$

$=2+24+(1+5)(5^2+5^4+...+5^{98}$

$=2+24+6(5^2+5^4+....+5^{98})=2+6(4+5^2+5^4+...+5^{98})$

$\Rightarrow A$ chia $6$ dư $2$.

a) \(7.8.9.10⋮2,⋮5\)

    \(2.3.4.5.6⋮2,⋮5\)

    31 ko chia hết 2, ko chia hết 5

=> 7.8.9.10 + 2.3.4.5.6 + 31 ko chia hết 2, không chia hết 5

b) 1.3.5.7.9 \(⋮\)5, ko chia hết 2

  4100 \(⋮\)5 , \(⋮\)2

=> 1.3.5.7.9 + 4100 \(⋮\)5, ko chia hết 2