\(M=\dfrac{2x+y}{xy}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{3\left(2x+y\right)}{16}+\dfrac{3}{2x+y}+\dfrac{5}{16}\left(2x+y\right)\ge2\sqrt{\dfrac{3}{16}.3}+\dfrac{5}{16}.2\sqrt{2xy}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}\).

Đẳng thức xảy ra khi x = 1; y = 2.

\(M=\dfrac{2x+y}{xy}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\)

\(M=\dfrac{3\left(2x+y\right)}{16}+\dfrac{3}{2x+y}+\dfrac{5\left(2x+y\right)}{16}\ge2\sqrt{\dfrac{9\left(2x+y\right)}{16\left(2x+y\right)}}+\dfrac{5}{16}.2\sqrt{2xy}=\dfrac{11}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)

Ta có:

\(M=\dfrac{2x+y}{xx}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\)

\(=\left(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\right)+\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\)

Có: \(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\ge2\sqrt{\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}\dfrac{3}{2x+y}}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}=\dfrac{3}{2x+y}\)

Có: \(\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\ge\dfrac{5}{8}\sqrt{2xy}=\dfrac{5}{4}\)

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow2x=y,xy=2\)

\(\Rightarrow M\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}\)

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow x=1,y=2\)

Vậy GTNN của M là \(\dfrac{11}{4}\Leftrightarrow x=1,y=2\)

Ta có:

\(M=\frac{2x+y}{xy}+\frac{3}{2x+y}=\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\)

\(=\left(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\right)+\frac{5}{8}.\frac{2x+y}{2}\)

Có: \(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\ge2\sqrt{\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}.\frac{3}{2x+y}}=\frac{3}{2}\)

Dấu '=' xảy ra <=> \(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}=\frac{3}{2x+y}\)

Có: \(\frac{5}{8}.\frac{2x+y}{2}\ge\frac{5}{8}\sqrt{2xy}=\frac{5}{4}\)

Dấu '=' xảy ra <=> 2x=y và xy=2

Do đó \(M\ge\frac{3}{2}+\frac{5}{4}=\frac{11}{4}\)

Dấu '=' xảy ra <=> x=1 và y=2

Vậy GTNN của  M là 11/4 khi x=1 và y=2

\(x+2y^3+8xy\ge2\) (1)

Nếu x<=0; y<=0 thì VT<=0<2

=>x và y không thể cùng âm

Đặt t=2y

(1)=>\(x+\frac{t^3}{4}+4xt\ge2\)

=>\(4x+t^3+16xt\ge8\)

\(P = 8x^4 + \frac{1}{2}y^4 - 2xy = 8x^4 + \frac{t^4}{32} - xt\)

Theo AM-GM, ta có:

\(8x^4 + \frac{1}{2}y^4 \ge 2\sqrt{8x^4 \cdot \frac{1}{2}y^4} = 2\sqrt{4x^4 y^4} = 4x^2 y^2\)

Dấu '=' xảy ra khi y=2x

=>\(P \ge 4x^2 y^2 - 2xy = (2xy)^2 - (2xy)\)

Thay y=2x vào (1), ta được:

\(x + 2(2x)^3 + 8x(2x) \ge 2\)

=>\(16x^3+16x^2+x-2\ge0\)

=>\((2x-1)(8x^2+12x+2)\ge0\)

=>2x-1>=0

=>x>=1/2

=>y=2x>=1; \(2xy=2x\cdot2x=4x^2\ge4\cdot\left(\frac12\right)^2=1\)

\(P = 8x^4 + \frac{1}{2}(2x)^4 - 2x(2x)\)

\(=8x^4+8x^4-4x^2=16x^4-4x^2=4x^2\left(4x^2-1\right)\ge0\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=1/2 và y=2x=1

ĐKXĐ: x>=-2; y>=-2

\(\sqrt{x + 2}-y^3=\sqrt{y + 2}-x^3\)

\(\iff\sqrt{x + 2}+x^3=\sqrt{y + 2}+y^3\) (1)

Xét hàm số \(f(t)=\sqrt{t + 2}+t^3\) , với t>=-2

\(f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t + 2}} + 3t^2\) >0∀t>=-2

=>f(t) đồng biến trên [-2;+∞)

(1) sẽ tương đương với f(x)=f(y)

=>x=y

Thay y=x vào A, ta được:

\(A = x^2 - x \cdot x + x^2 + 2x + 2022\)

\(=x^2+2x+2022=\left(x+1\right)^2+2021\ge2021\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x+1=0

=>x=-1

=>y=x=-1

Ta có: \(15=x+y+xy\le x+y+\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow\frac{t^2}{4}+t\ge15\)(\(t=x+y\)) 

\(\Leftrightarrow\left(t-6\right)\left(t+10\right)\ge0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t\ge6\\t\le-10\end{cases}}\)

\(P=x^2+y^2=\frac{1}{2}.2\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\ge\frac{1}{2}.6^2=18\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=3\).