Đặt \(B=\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}\)

Ta có bđt sau \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\) tự chứng mình nha 

Áp dụng \(a=x,b=y,c=1\)

Ta có : \(B=\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}\ge3\)

Ta có : \(A=\frac{1}{B}+B=\frac{1}{B}+\frac{B}{9}+\frac{8B}{9}\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=1\)

\(P=x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=\left(15-xy\right)^2-2xy=\left(xy\right)^2-32xy+225=p^2-32p+225.\)

s+p = 15 ; s² -4p>/ 0 => p</ 3

P min = 138 khi  p = 3 ; s = 12 

bạn gải thích rõ bước cuối được không bạn từ bước s+p=15;s²-4p>/0

cau 2 chung minh cai gi vay ban

Ta có: \(Q=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{6}{2xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy}+\dfrac{4}{2xy}\)

Áp dụng BĐT phụ: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)\ge2\left(\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\right)=2\left[\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\right]=2.\dfrac{4}{4}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

Áp dụng BĐT phụ: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{2^2}{4}=1\)

Dấu"=" xảy ra khi x=y=1

\(\Rightarrow2xy\le2.1=2\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{2xy}\ge\dfrac{4}{2}=2\)

\(\Rightarrow Q=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy}+\dfrac{4}{2xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}\ge2+2=4\)

Dấu"=" xảy ra khi x=y=1

\(M=3\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{12}{2xy+x^2+y^2}+\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{14}{\left(x+y\right)^2}=14\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng bđt đã cho ta có \(M=4\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)-\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{16}{2xy+x^2+y^2}-\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{16}{\left(x+y\right)^2}-\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=14\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

\(x(3 - xy - xz) + y + 6z \le 5xz(y + z) \quad (1)\)

=>\(3x - x^2 y - x^2 z + y + 6z \le 5xyz + 5xz^2\)

=>\(3x+y+6z\le x^2y+x^2z+5xyz+5xz^2\)

=>\(3x+y+6z\le x^2(y+z)+5xz(y+z)\)

=>\(3x+y+6z\le x(y+z)(x+5z)\quad(2)\)

P=3x+y+6z

=>P<=x(y+z)(x+5z)

y+6z=P-3x

=>y+z=(P-3x)-5z

(2)=>\(P \le x(P - 3x - 5z)(x + 5z)\)

Theo AM-GM, ta có: \((P - 3x - 5z)(x + 5z) \le \left[ \frac{(P - 3x - 5z) + (x + 5z)}{2} \right]^2 = \left( \frac{P - 2x}{2} \right)^2\)

=>\(P \le x \cdot \left( \frac{P - 2x}{2} \right)^2 = \frac{x(P - 2x)^2}{4}\)

=>\(4P\le x(P^2-4Px+4x^2)\)

=>\(4P\le P^2x-4Px^2+4x^3\)

=>\(P^2x-4Px^2-4P+4x^3\ge0\)

=>\(P^2 - 4P \left(x + \frac{1}{x}\right) + 4x^2 \ge 0 \quad (3)\)

Theo Cosi, ta có: \(x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2\)

=>\(-4P\left(x + \frac{1}{x}\right) \le -4P \cdot 2 = -8P\)

(3)=>\(P^2 - 8P + 4x^2 \ge P^2 - 4P \left(x + \frac{1}{x}\right) + 4x^2 \ge 0\)

Chọn điểm rơi x=1, ta sẽ có phương trình: \(P^2 - 8P + 4 \ge 0\)

=>\(P^2-8P+16\ge12\)

=>\(\left(P-4\right)^2\ge12\)

=>\(P-4\ge2\sqrt3\)

=>\(P\ge4+2\sqrt3\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=\frac{1}{x};P-3x-5z=x+5z\) và y=P-3x-6z

=>x=1; P-4x=10z và y=P-3x-6z

=>x=1; \(10z=(4+2\sqrt{3})-4=2\sqrt{3}\) và y=P-3x-6z

=>x=1; \(z=\frac{\sqrt{3}}{5}\) và y=P-3x-6z

=>\(x=1;y=1+\frac{4\sqrt{3}}{5};z=\frac{\sqrt{3}}{5}\)