Theo đề, ta có: \(\begin{cases} a^{10} + b^{10} = a^{11} + b^{11} \quad (1) \\ a^{11} + b^{11} = a^{12} + b^{12} \quad (2) \end{cases}\)

Đặt \(S_{k}=a^{k}+b^{k}\left(k\in N\right)\)

Khi đó, ta có:

\((a+b)S_{k} - ab \cdot S_{k-1} = (a+b)(a^k + b^k) - ab(a^{k-1} + b^{k-1}) = a^{k+1} + b^{k+1} = S_{k+1}\)

Khi k=10 thì \((a+b)S_{10} - ab \cdot S_9 = S_{11}\)

(1)=>\(S_{10}=S_{11}\)

=>\((a+b)S_{10}-ab\cdot S_9=S_{10}\iff(a+b-1)S_{10}=ab\cdot S_9\)

Khi k=11 thì ta có: \((a+b)S_{11} - ab \cdot S_{10} = S_{12}\)

mà \(S_{10}=S_{11}=S_{12}\)

nên \((a+b)S_{10}-ab\cdot S_{10}=S_{10}\)

\(\iff(a+b-ab-1)S_{10}=0\)

=>\(a+b-ab-1=0\)

=>\((a-1)(1-b)=0\iff\left[\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}\right.\)

TH1: a=1

Thay a=1 vào (1), ta được:

\(1^{10}+b^{10}=1^{11}+b^{11}\)

=>\(b^{11}-b^{10}=0\)

=>\(b^{10}\left(b-1\right)=0\)

=>b-1=0

=>b=1

TH2: b=1

Thay b=1 vào (1), ta được:

\(1^{10}+a^{10}=1^{11}+a^{11}\)

=>\(a^{11}-a^{10}=0\)

=>\(a^{10}\left(a-1\right)=0\)

=>a-1=0

=>a=1

=>a=b=1

\(a^{2015}+b^{2015}\)

=1+1

=2

Xét ( a
2 + b
2 + c2 + d
2
) - ( a + b + c + d)
= a(a -1) + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1)
Vì a là số nguyên dương nên a, (a – 1) là hai số tự nhiên liên tiếp
=> a(a-1) chia hết cho 2. Tương tự ta có b(b-1); c(c-1); d(d-1) đều chia hết cho 2
=> a(a -1) + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1) là số chẵn
Lại có a
2 + c2 = b
2 + d
2=> a
2 + b
2 + c2 + d
2 = 2( b
2 + d
2
) là số chẵn.
Do đó a + b + c + d là số chẵn mà a + b + c + d > 2 (Do a, b, c, d thuộc N*)
a + b + c + d là hợp số.
(???-.....)

toán đội tuyển à

Ngu