Cho đường tròn (O;R) và điểm A ở ngoài đường tròn, Kẻ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm) gọi H là trung điểm của BCa)Chứng minh: A,H,O thẳng hàng và các điểm A,B,O,C cùng nằm trên 1 đường trònb)Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Vẽ CK vuông góc BD. Chứng minh: AC.CD=CK.ACc)Tia AO cắt (O) tại M,N. Chứng minh: MH.AN=AM.HNd)AO cắt CK tại I. Chứng minh: I là trung điểm...
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O;R) và điểm A ở ngoài đường tròn, Kẻ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm) gọi H là trung điểm của BC
a)Chứng minh: A,H,O thẳng hàng và các điểm A,B,O,C cùng nằm trên 1 đường tròn
b)Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Vẽ CK vuông góc BD. Chứng minh: AC.CD=CK.AC
c)Tia AO cắt (O) tại M,N. Chứng minh: MH.AN=AM.HN
d)AO cắt CK tại I. Chứng minh: I là trung điểm của CK
a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC và OA là phân giác của góc BOC
AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: HB=HC
=>H nằm trên đường trung trực của BC(2)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra A,H,O thẳng hàng
Xét tứ giác ABOC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn
b:
Xét (O) có
ΔBCD nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBCD vuông tại C
=>BC⊥CD
mà BC⊥OA
nên OA//CD
=>\(\hat{BOA}=\hat{KDC}\) (hai góc đồng vị)
mà \(\hat{BOA}=\hat{COA}\)
nên \(\hat{KDC}=\hat{COA}\)
xét ΔKDC vuông tại K và ΔCOA vuông tại C có
\(\hat{KDC}=\hat{COA}\)
Do đó: ΔKDC~ΔCOA
=>\(\frac{CK}{AC}=\frac{CD}{OA}\)
=>\(CK\cdot AO=CA\cdot CD\)