Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét (O) có
ΔCAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔCAB vuông tại C
ΔOAC cân tại O
mà OM là đường cao
nên M là trung điểm của AC và OM là phân giác của góc AOC
ΔOBC cân tại O
mà ON là đường cao
nên N là trung điểm của BC và ON là phân giác của góc BOC
Xét tứ giác CMON có \(\hat{CMO}=\hat{CNO}=\hat{MCN}=90^0\)
nên CMON là hình chữ nhật
b: Xét ΔABE vuông tại A có AC là đường cao
nên \(CA^2=CB\cdot CE\) (1)
Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao
nên \(CA^2=AH\cdot AB\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(CB\cdot CE=AH\cdot AB\)
c: Xét ΔOBF và ΔOCF có
OB=OC
\(\hat{BOF}=\hat{COF}\)
OF chung
Do đó: ΔOBF=ΔOCF
=>\(\hat{OBF}=\hat{OCF}\)
=>\(\hat{OCF}=90^0\)
=>OC⊥CF tại C
Xét ΔOAI và ΔOCI có
OA=OC
\(\hat{AOI}=\hat{COI}\)
OI chung
Do đó: ΔOAI=ΔOCI
=>\(\hat{OAI}=\hat{OCI}\)
=>\(\hat{OCI}=90^0\)
=>OC⊥CI
OC⊥CI
OC⊥CF
mà CI,CF có điểm chung là C
nên I,C,F thẳng hàng
=>OC⊥IF tại C
=>IF là tiếp tuyến tại C của (O)
a) Ta có : \(\hat{A}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O), đường kính BC).
\(\hat{E}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I), đường kính AH).
\(\hat{F}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I), đường kính AH).
Suy ra, AHEF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết) (điều phải chứng minh).
b) Ta có : \(\hat{HAC}+\hat{C}=90^o\) (hai góc phụ nhau) và \(\hat{ABC}+\hat{C}=90^o\) (hai góc phụ nhau)
\(\Rightarrow\hat{HAC}=\hat{ABC}\) (điều phải chứng minh).
Mặt khác : \(\hat{AEF}=\hat{AHF}\) (hai góc nội tiếp đường tròn (I) cùng chắn cung AF).
Và : \(\left\{{}\begin{matrix}\hat{AHF}+\hat{HAC}=90^o\\\hat{C}+\hat{HAC}=90^o\end{matrix}\right.\Rightarrow\hat{AHF}=\hat{C}\). Suy ra : \(\hat{AEF}=\hat{C}\).
Lại có : \(\hat{AEF}+\hat{BEF}=180^o\) (hai góc kề bù) \(\Rightarrow\hat{C}+\hat{BEF}=180^o\).
Mà trong tứ giác BEFC, hai góc trên lại đối nhau. Do đó, tứ giác BEFC nội tiếp được một đường tròn (điều phải chứng minh).
a: Xét tứ giác ADBO có
\(\widehat{DBO}+\widehat{DAO}=90^0+90^0=180^0\)
=>ADBO là tứ giác nội tiếp
=>A,D,B,O cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
ΔBAC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBAC vuông tại A
=>BA\(\perp\)AC tại A
=>BA\(\perp\)CE tại A
Xét (O) có
DA,DB là các tiếp tuyến
DO đó: DA=DB
=>D nằm trên đường trung trực của AB(1)
ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra OD là đường trung trực của AB
=>OD\(\perp\)AB
Ta có: OD\(\perp\)AB
CE\(\perp\)AB
Do đó: OD//CE
Xét ΔEBC vuông tại B có BA là đường cao
nên \(CA\cdot CE=CB^2\)
=>\(CA\cdot CE=\left(2R\right)^2=4R^2\)
$a\big)$
Ta có $\widehat{BAC}=90^o$
$\to \Delta ABC$ vuông tại $A$
Pytago: $AC^2=BC^2-AB^2=4R^2-R^2=3R^2$
$\to AC=R\sqrt{3}$
$b\big)$
Ta có $\sin{\widehat{ABC}}=\frac{AC}{BC}=\frac{R\sqrt{3}}{2R}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\to \widehat{ABC}=60^o$
$\to \widehat{AOC}=2\widehat{ABC}=120^o$
Độ dài $\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}=\frac{\pi.R.120}{180}\approx 2,09R$
