1.

\(2\left|x-m\right|+x^2+2>2mx\)

\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)^2+2\left|x-m\right|-m^2+2>0\)

\(\Leftrightarrow t^2+2t-m^2+2>0\left(t=\left|x-m\right|\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2< f\left(t\right)=t^2+2t+2\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(m^2< minf\left(t\right)=2\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}< m< 2\)

Vậy \(-\sqrt{2}< m< 2\)

2.

\(x^2+2\left|x+m\right|+2mx+3m^2-3m+1< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+m\right)^2+2\left|x+m\right|+2m^2-3m+1< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(\left|x+m\right|+1\right)^2< -2m^2+3m\)

Ta có \(VT=\left(\left|x+m\right|+1\right)^2=\left(-\left|x+m\right|-1\right)^2\le\left(-1\right)^2=1\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(VP=-2m^2+3m>1\)

\(\Leftrightarrow2m^2-3m+1< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}< m< 1\)

a: \(\begin{cases}x+m-1>0\\ 3m-2-x>0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x>-m+1\\ -x>-3m+2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x>-m+1\\ x<3m-2\end{cases}\)

=>-m+1<x<3m-2

Để hệ có nghiệm thì -m+1<3m-2

=>-4m<-3

=>m>3/4

=>Để hệ vô nghiệm thì m<=3/4

b: \(\begin{cases}x-1>0\\ mx-3>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x>1\left(1\right)\\ mx>3\left(2\right)\end{cases}\)

TH1: m=0

(2) sẽ trở thành: 0x>3

=>0>3(sai)

=>Hệ vô nghiệm

TH2: m<0

(2) sẽ tương đương: \(x<\frac{3}{m}<0\)

mà x>1>0

nên hệ vô nghiệm

TH3: m>0

(2) sẽ tương đương: \(x>\frac{3}{m}\) >0

=>Hệ luôn có nghiệm với mọi m>0

c: \(\begin{cases}x+4m^2<=2mx+1\\ 3x+2>2x-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-2mx<=1-4m^2\\ 3x-2x>-1-2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\left(1-2m\right)<=1-4m^2\left(1\right)\\ x>-3\left(2\right)\end{cases}\)

(1): \(x\left(1-2m\right)<=1-4m^2\)

=>x(1-2m)<=(1-2m)(1+2m)

TH1: m=1/2

(1) sẽ trở thành: \(x\left(1-2\cdot\frac12\right)<=\left(1-2\cdot\frac12\right)\left(1+2\cdot\frac12\right)\)

=>0x<=0(đúng)

=>Hệ có vô nghiệm

TH2: m<1/2

=>2m<1

=>2m-1<0

=>1-2m>0

(1) sẽ tương đương: x<=1+2m

=>-3<x<=2m+1

Để hệ có nghiệm khi 2m+1>-3

=>2m>-4

=>m>-2

=>-2<m<1/2

=>Để hệ vô nghiệm thì m<=-2

TH3: m>1/2

=>2m>1

=>2m-1>0

=>1-2m<0

(1) sẽ tương đương: x>=2m+1

mà x>-3

nên hệ luôn có nghiệm với mọi m>1/2

d: \(\begin{cases}7x-2\ge-4x+19\\ 2x-3m+2<0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}11x\ge21\\ 2x<3m-2\end{cases}\)

=>\(\frac{21}{11}\le x<\frac{3m-2}{2}\)

Để hệ có nghiệm thì \(\frac{3m-2}{2}>\frac{21}{11}\)

=>\(3m-2>\frac{42}{11}\)

=>\(3m>\frac{42}{11}+2=\frac{42+22}{11}=\frac{64}{11}\)

=>\(m>\frac{64}{33}\)

=>Để hệ vô nghiệm thì m<=64/33

Lời giải:

BPT đã cho vô nghiệm khi $(m+2)x^2-(3m+1)x+m+1>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} m+2>0\\ \Delta=(3m+1)^2-4(m+2)(m+1)< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>-2\\ 5m^2-6m-7< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \frac{3-2\sqrt{11}}{5}< x< \frac{3+2\sqrt{11}}{5}\)

- Với \(m=\dfrac{1}{2}\) ko thỏa mãn

- Với \(m\ne\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^3-\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x^2+\left(m-4\right)x+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left[\left(m-2\right)x+2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2\right]\ge0\) (1)

Do (1) luôn chứa 1 nghiệm \(x=1\in\left(0;+\infty\right)\) nên để bài toán thỏa mãn thì cần 2 điều sau đồng thời xảy ra:

+/ \(2m-1>0\Rightarrow m>\dfrac{1}{2}\)

+/ \(\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2=0\) có 2 nghiệm trong đó \(x_1\le0\) và \(x_2=1\)

Thay \(x=1\) vào ta được:

\(\left(2m-1\right)-\left(m-2\right)-2=0\Leftrightarrow m=1\)

Khi đó: \(x^2+x-2=0\) có 2 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x_1=-2< 0\left(thỏa\right)\\x_2=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=1\)

\(\left(x\ne0\right)đặt:x+\dfrac{1}{x}=t\Leftrightarrow x^2-xt+1=0\Rightarrow\Delta=t^2-4\ge0\Rightarrow t\in(-\text{∞};-2]\cup[2;+\text{∞})\) \(pt:x^2+\dfrac{1}{x^2}+\left(1-3m\right)\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+3m=0\left(1\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow t^2+\left(1-3m\right)t+3m-2=0\left(2\right)\) 

\(\left(1\right)\) \(có\) \(nghiệm\Leftrightarrow\left(2\right)\) \(có\) \(nghiệm\) \(thuộc:(-\text{∞};-2]\cup[2;+\text{∞})\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-3m+2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\notin(-\text{∞};-2]\cup[2;+\text{∞})\\t=3m-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow t=3m-2\in(-\text{∞};-2]\cup[2;+\text{∞})\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3m-2< -2\\t=3m-2>2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\in(-\text{∞};0)\cup\left(\dfrac{4}{3};+\text{∞}\right)\)

Xem lại đề đoạn \x_{1} +1)^2 + 2mx_{???}^2 - 2= 0\ 

Tên vietjack mà không làm được thì mang tiếng người ta quá

EM CÓ BIẾT GÌ ĐÂU NÓ TỰ ĐẶT TÊN THẾ MÀ

a: \(\begin{cases}x+m-1>0\\ 3m-2-x>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x>-m+1\\ -x>-3m+2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x>-m+1\\ x<3m-2\end{cases}\)

Để hệ bất phương trình có nghiệm thì 1-m<3m-2

=>-4m<-3

=>m>3/4

=>Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì m<=3/4

d: \(\begin{cases}7x-2\ge-4x+19\\ 2x-3m+2<0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}11x\ge21\\ 2x<3m-2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\ge\frac{21}{11}\\ x<\frac{3m-2}{2}\end{cases}\)

Để hệ bất phương trình có nghiệm thì \(\frac{21}{11}<\frac{3m-2}{2}\)

=>\(\frac{3m-2}{2}>\frac{21}{11}\)

=>\(3m-2>\frac{42}{11}\)

=>\(3m>\frac{42}{11}+2=\frac{42+22}{11}=\frac{64}{11}\)

=>\(m>\frac{64}{33}\)

=>Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì m<=64/33