cota/2+cotb/2+cotc/2=cota/2.cotb/2.cotc/2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VL
0
ST
0
IT
0
IT
0
TV
0
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
21 tháng 6
Xét ΔABC có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot bc}\)
\(\frac{a}{\sin A}=2R\)
=>\(\sin A=\frac{a}{2R}\)
=>cot A=\(\frac{cosA}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2R}{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\cdot\frac{R}{BC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) (1)
XétΔABC có BM là đường trung tuyến
nên \(BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)
Xét ΔABC có CN là đường trung tuyến
nên \(CN^2=\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)
Gọi G là giao điểm của BM và CN
Xét ΔABC có
BM,CN là các đường trung tuyến
BM cắt CN tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC
=>\(BG=\frac23BM;CG=\frac23CN\)
=>\(BG^2=\frac49BM^2;CG^2=\frac49CN^2\)
ΔGBC vuông tại G
=>\(GB^2+GC^2=BC^2\)
=>\(a^2=\frac49\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac49\cdot\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2+2\left(c^2+b^2\right)-a^2}{4}\)
=>\(a^2=\frac19\cdot\left(2a^2+2c^2-b^2+2c^2+2b^2-a^2\right)=\frac19\left(a^2+b^2+4c^2\right)\)
=>\(5a^2=b^2+c^2\)
cot A=\(\frac{b^2+c^2-a^2}{S\cdot4}=\frac{5a^2-a^2}{4\cdot S}=\frac{4a^2}{4\cdot S}=\frac{a^2}{S}\)
cot B+cot C=\(\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{2a^2}{4S}=\frac{a^2}{2S}\)
=>cot A=2(cot B+cot C)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
21 tháng 6
Xét ΔABC có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot bc}\)
\(\frac{a}{\sin A}=2R\)
=>\(\sin A=\frac{a}{2R}\)
=>cot A=\(\frac{cosA}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2R}{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\cdot\frac{R}{BC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) (1)
XétΔABC có BM là đường trung tuyến
nên \(BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)
Xét ΔABC có CN là đường trung tuyến
nên \(CN^2=\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)
Gọi G là giao điểm của BM và CN
Xét ΔABC có
BM,CN là các đường trung tuyến
BM cắt CN tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC
=>\(BG=\frac23BM;CG=\frac23CN\)
=>\(BG^2=\frac49BM^2;CG^2=\frac49CN^2\)
ΔGBC vuông tại G
=>\(GB^2+GC^2=BC^2\)
=>\(a^2=\frac49\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac49\cdot\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2+2\left(c^2+b^2\right)-a^2}{4}\)
=>\(a^2=\frac19\cdot\left(2a^2+2c^2-b^2+2c^2+2b^2-a^2\right)=\frac19\left(a^2+b^2+4c^2\right)\)
=>\(5a^2=b^2+c^2\)
cot A=\(\frac{b^2+c^2-a^2}{S\cdot4}=\frac{5a^2-a^2}{4\cdot S}=\frac{4a^2}{4\cdot S}=\frac{a^2}{S}\)
cot B+cot C=\(\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{2a^2}{4S}=\frac{a^2}{2S}\)
=>cot A=2(cot B+cot C)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
21 tháng 6
Xét ΔABC có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot bc}\)
\(\frac{a}{\sin A}=2R\)
=>\(\sin A=\frac{a}{2R}\)
=>cot A=\(\frac{cosA}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2R}{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\cdot\frac{R}{BC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) (1)
XétΔABC có BM là đường trung tuyến
nên \(BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)
Xét ΔABC có CN là đường trung tuyến
nên \(CN^2=\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)
Gọi G là giao điểm của BM và CN
Xét ΔABC có
BM,CN là các đường trung tuyến
BM cắt CN tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC
=>\(BG=\frac23BM;CG=\frac23CN\)
=>\(BG^2=\frac49BM^2;CG^2=\frac49CN^2\)
ΔGBC vuông tại G
=>\(GB^2+GC^2=BC^2\)
=>\(a^2=\frac49\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac49\cdot\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2+2\left(c^2+b^2\right)-a^2}{4}\)
=>\(a^2=\frac19\cdot\left(2a^2+2c^2-b^2+2c^2+2b^2-a^2\right)=\frac19\left(a^2+b^2+4c^2\right)\)
=>\(5a^2=b^2+c^2\)
cot A=\(\frac{b^2+c^2-a^2}{S\cdot4}=\frac{5a^2-a^2}{4\cdot S}=\frac{4a^2}{4\cdot S}=\frac{a^2}{S}\)
cot B+cot C=\(\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{2a^2}{4S}=\frac{a^2}{2S}\)
=>cot A=2(cot B+cot C)
Chỉ đúng với điều kiện A, B, C là 3 góc trong tam giác \(\Rightarrow A+B+C=\pi\)
Đặt \(\frac{A}{2}=x\) , \(\frac{B}{2}=y\); \(\frac{C}{2}=z\) \(\Rightarrow x+y+z=\frac{\pi}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\frac{\pi}{2}-z\\z=\frac{\pi}{2}-\left(x+y\right)\end{matrix}\right.\)
\(cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2}=cotx+coty+cotz=\frac{cosx}{sinx}+\frac{cosy}{siny}+\frac{cosz}{sinz}\)
\(=\frac{cosx.siny+cosy.sinx}{sinx.siny}+\frac{cosz}{sinz}=\frac{sin\left(x+y\right)}{sinx.siny}+\frac{cosz}{sinz}\)
\(=\frac{sin\left(\frac{\pi}{2}-z\right)}{sinx.siny}+\frac{cosz}{sinz}=\frac{cosz}{sinx.siny}+\frac{cosz}{sinz}=cosz\left(\frac{1}{sinx.siny}+\frac{1}{sinz}\right)\)
\(=\frac{cosz}{sinx.siny.sinz}\left(sinz+sinx.siny\right)=\frac{cosz}{sinx.siny.sinz}\left(sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(x+y\right)\right)+sinxsiny\right)\)
\(=\frac{cosz}{sinx.siny.sinz}\left(cos\left(x+y\right)+sinx.siny\right)\)
\(=\frac{cosz}{sinx.siny.sinz}\left(cosx.cosy-sinx.siny+sinx.siny\right)\)
\(=\frac{cosx.cosy.cosz}{sinx.siny.sinz}=cotx.coty.cotz=cot\frac{A}{2}.cot\frac{B}{2}.cot\frac{C}{2}\)