Sửa đề: \(\cot A+\cot B+\cot C\ge\sqrt3\)

\(\cot A + \cot B = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\sin(A + B)}{\sin A \sin B} = \frac{\sin C}{\sin A \sin B}\)

Ta có: \(\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1\)

Đặt x=cot A; y=cot B; z=cot C

Ta có: \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\forall x,y,z\)

=>\(x^2+y^2-2xy+y^2+z^2-2yz+x^2+z^2-2xz\ge0\)

=>\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)

=>\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

=>\(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\ge xy+yz+xz+2\left(xy+yz+xz\right)\)

=>\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

=>\((\cot A + \cot B + \cot C)^2 \ge 3(\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A) = 3 \cdot 1 = 3\)

=>\(\cot A + \cot B + \cot C \ge \sqrt{3}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\frac{180^0}{3}=60^0\)

Xét ΔABC có

\(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac};cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

Xét ΔABC có \(S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac12\cdot ac\cdot\sin B=\frac12\cdot ab\cdot\sin C\)

=>\(\sin A=\frac{2S}{bc};\sin B=\frac{2S}{ac};\sin C=\frac{2S}{ab}\)

\(\cot A=\frac{cosA}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{2S}{bc}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\)

\(\cot B=\frac{cosB}{\sin B}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}:\frac{2S}{ac}=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}\)

cot C=\(\frac{cosC}{\sin C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}\)

cot A+cot B+cot C

\(=\frac{b^2+c^2-a^2+a^2+c^2-b^2+a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}\)

Xét ΔABC có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot bc}\)

\(\frac{a}{\sin A}=2R\)

=>\(\sin A=\frac{a}{2R}\)

=>cot A=\(\frac{cosA}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2R}{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\cdot\frac{R}{BC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) (1)

XétΔABC có BM là đường trung tuyến

nên \(BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)

Xét ΔABC có CN là đường trung tuyến

nên \(CN^2=\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)

Gọi G là giao điểm của BM và CN

Xét ΔABC có

BM,CN là các đường trung tuyến

BM cắt CN tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>\(BG=\frac23BM;CG=\frac23CN\)

=>\(BG^2=\frac49BM^2;CG^2=\frac49CN^2\)

ΔGBC vuông tại G

=>\(GB^2+GC^2=BC^2\)

=>\(a^2=\frac49\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac49\cdot\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2+2\left(c^2+b^2\right)-a^2}{4}\)

=>\(a^2=\frac19\cdot\left(2a^2+2c^2-b^2+2c^2+2b^2-a^2\right)=\frac19\left(a^2+b^2+4c^2\right)\)

=>\(5a^2=b^2+c^2\)

cot A=\(\frac{b^2+c^2-a^2}{S\cdot4}=\frac{5a^2-a^2}{4\cdot S}=\frac{4a^2}{4\cdot S}=\frac{a^2}{S}\)

cot B+cot C=\(\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{2a^2}{4S}=\frac{a^2}{2S}\)

=>cot A=2(cot B+cot C)

Xét ΔABC có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot bc}\)

\(\frac{a}{\sin A}=2R\)

=>\(\sin A=\frac{a}{2R}\)

=>cot A=\(\frac{cosA}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2R}{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\cdot\frac{R}{BC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) (1)

XétΔABC có BM là đường trung tuyến

nên \(BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)

Xét ΔABC có CN là đường trung tuyến

nên \(CN^2=\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)

Gọi G là giao điểm của BM và CN

Xét ΔABC có

BM,CN là các đường trung tuyến

BM cắt CN tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>\(BG=\frac23BM;CG=\frac23CN\)

=>\(BG^2=\frac49BM^2;CG^2=\frac49CN^2\)

ΔGBC vuông tại G

=>\(GB^2+GC^2=BC^2\)

=>\(a^2=\frac49\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac49\cdot\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2+2\left(c^2+b^2\right)-a^2}{4}\)

=>\(a^2=\frac19\cdot\left(2a^2+2c^2-b^2+2c^2+2b^2-a^2\right)=\frac19\left(a^2+b^2+4c^2\right)\)

=>\(5a^2=b^2+c^2\)

cot A=\(\frac{b^2+c^2-a^2}{S\cdot4}=\frac{5a^2-a^2}{4\cdot S}=\frac{4a^2}{4\cdot S}=\frac{a^2}{S}\)

cot B+cot C=\(\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{2a^2}{4S}=\frac{a^2}{2S}\)

=>cot A=2(cot B+cot C)

Xét ΔABC có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot bc}\)

\(\frac{a}{\sin A}=2R\)

=>\(\sin A=\frac{a}{2R}\)

=>cot A=\(\frac{cosA}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2R}{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\cdot\frac{R}{BC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) (1)

XétΔABC có BM là đường trung tuyến

nên \(BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)

Xét ΔABC có CN là đường trung tuyến

nên \(CN^2=\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)

Gọi G là giao điểm của BM và CN

Xét ΔABC có

BM,CN là các đường trung tuyến

BM cắt CN tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>\(BG=\frac23BM;CG=\frac23CN\)

=>\(BG^2=\frac49BM^2;CG^2=\frac49CN^2\)

ΔGBC vuông tại G

=>\(GB^2+GC^2=BC^2\)

=>\(a^2=\frac49\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac49\cdot\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2+2\left(c^2+b^2\right)-a^2}{4}\)

=>\(a^2=\frac19\cdot\left(2a^2+2c^2-b^2+2c^2+2b^2-a^2\right)=\frac19\left(a^2+b^2+4c^2\right)\)

=>\(5a^2=b^2+c^2\)

cot A=\(\frac{b^2+c^2-a^2}{S\cdot4}=\frac{5a^2-a^2}{4\cdot S}=\frac{4a^2}{4\cdot S}=\frac{a^2}{S}\)

cot B+cot C=\(\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{2a^2}{4S}=\frac{a^2}{2S}\)

=>cot A=2(cot B+cot C)