Đặt \(A=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

Ta có : \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}>0\)

\(\Rightarrow A>1+0=1\)(1)

Ta lại có :

\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};...;\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow A< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow A< 1+1-\frac{1}{100}< 2\)(2)

Từ (1) và (2) => 1<A<2

=> A không phải là số tự nhiên

Ta có : \(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+.....+\frac{1}{100^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+.......+\frac{1}{99.100}\)

\(\Leftrightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+.....+\frac{1}{100^2}< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+.......+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1+1-\frac{1}{100}\)\(=\frac{199}{100}< 2\)

Lại có : \(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+.....+\frac{1}{100^2}>1\)

Nên : \(1< 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+.....+\frac{1}{100^2}< 2\)

Vậy \(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+.....+\frac{1}{100^2}\) ko phải là số tự nhiên 

Ta có: \(\frac{1}{2^2}>0\)

           \(\frac{1}{3^2}>0\)

           ................

            \(\frac{1}{100^2}>0\)

\(\Rightarrow A>0\left(1\right)\)

Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)

          \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

           ...................

            \(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{100}< 1\)

\(\Rightarrow A< 1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow0< A< 1\)

Vậy A ko là STN.

Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)

\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)

...

\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(=1-\frac{1}{100}\)

\(=\frac{99}{100}< 1\)

Vậy A không phải là một số tự nhiên

A = 1/2 - 1/2^2 + 1/2^3 - 1/2^4 + ... + 1/2^2017

2A = 1 - 1/2 + 1/2^2 - 1/2^3 + .... + 1/2^2016

2A + A = 1 + 1/2^2017

=> A = (1 + 1/2^2017) : 3 

bài 1:

ta có \(\frac{1}{1!}=1\)

\(\frac{1}{2!}=\frac{1}{1\cdot2}\)

\(\frac{1}{3!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}=\frac{1}{2\cdot3}\)

bắt đầu từ đây ta giảm mẫu số:

\(\frac{1}{4!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}<\frac{1}{3\cdot4}\)

... tới \(\frac{1}{2012!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot2011\cdot2012}<\frac{1}{2011\cdot2012}\)

thay vào biểu thức S

=> \(S<1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{2011\cdot2012}\)

áp dụng công thức: \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

=> \(S=1+1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)

\(S<2-\frac{1}{2012}\)

mà \(\frac{1}{2012}>0\)

=> \(S<2\)

bài 2:

Ta có công thức: \(\frac{1}{\left(n+1\right)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{\left(n+1\right)!}\)

=> \(\frac{9}{10!}=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}\)

\(\frac{10}{11!}=\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}\)

\(\frac{11}{12!}=\frac{1}{11!}-\frac{1}{12!}\)

... tới: \(\frac{99}{100!}=\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}\)

thay vào biểu thức ta gọi biểu thức là A

\(A=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}+\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}+\cdots+\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}\)

A=\(\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}\)

mà \(\frac{1}{100!}>0\Rightarrow\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}<\frac{1}{9!}\)

vậy \(A<\frac{1}{9!}\)

bn chỉ cần tính kết quả là được vì nó là phân số ko phải số tự nhiên hihi 66366377377272

mẫu chung: 2^6.3.5.7...99

gọi tổng đó là A

A=1+1/2+1/3+...+1/100

A=k1+k2+k3+...+k100/2^6.3.5.7.9...100

ta thấy phân so k^64/64 sẽ bằng có tử bằng: 3.5.7...99. mà các phân số khác có tử đều chẵn (vì các phân số lẻ đều có tử có thừa số 2^6, phân số chẵn sẽ có ít nhất 1 thừa số 2)

=> tử của A lẻ nên ko chia hết cho 2. mà mẫu A=2^6.3.5.7...99 chia hết 2

=> A ko phải số tự nhiên

chị trình bày còn lủng củng. em hiểu rồi trình bày lại nhé

\(1< \frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)

\(1< 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1+1-\frac{1}{n}< 2\)

Vậy ..