cho x>0, y>0 thỏa mãn x^2+y^2 =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=-2xy/1+xy
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TB
1
SL
11 tháng 5 2017
\(A=2+x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(2x+\frac{1}{x}\right)+\left(2y+\frac{1}{y}\right)-\left(x+y\right)\)
Áp dụng cô-si cho từng cặp là ok,,,,
Riêng cặp cuối \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=\sqrt{2}\Leftrightarrow-\left(x+y\right)\ge-\sqrt{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 7 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
$x^2+y^2\geq 2xy\Leftrightarrow 1\geq 2xy\Leftrightarrow \frac{1}{2}\geq xy$
Do đó:
$A+2=\frac{2}{xy+1}\geq \frac{2}{\frac{1}{2}+1}=\frac{4}{3}$
$\Rightarrow A\geq \frac{-2}{3}$
Vậy $A_{\min}=\frac{-2}{3}$ khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Áp dụng bđt Cô-si \(1=x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
Ta có \(A=\frac{-2xy}{1+xy}\ge\frac{-\frac{2.1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)