\(2a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{b^2}{4}=4\Leftrightarrow\left(a^2+\frac{1}{a^2}-2\right)+\left(a^2+\frac{b^2}{4}-ab\right)=4-ab-2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+\left(a-\frac{b}{2}\right)^2=2-ab\)

\(VF=2-ab=\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+\left(b-\frac{b}{2}\right)^2\ge0\)

Hay \(ab\le2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{a}\\b=\frac{b}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(a;b\right)=\left(1;\frac{1}{2}\right)\\\left(a;b\right)=\left(-1;-\frac{1}{2}\right)\end{cases}}\)

ủa bạn tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=ab+2019 mà 

Đặt \(\frac{a^2+1}{a}=x\Rightarrow x=\frac{a^2+1}{a}\ge\frac{2a}{a}=2\)

Khi đó:

\(S=\frac{5x}{2}+\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\right)+\frac{9x}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{4}}+\frac{9\cdot2}{4}=1+\frac{18}{4}=\frac{11}{2}\)

Dấu "=" xảy ra tại a=1

Với mọi 0 < x < 1 ta có: 

\(A=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}=\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{1-x}+\frac{1}{x}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}{1-x+x}=3+2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{\sqrt{2}}{1-x}=\frac{1}{x}=\sqrt{2}+1\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1\)

Kết luận:...

\(A=\frac{a}{2-a}+\frac{1-a}{1+a}=\frac{2a^2-2a+2}{\left(1+a\right)\left(2-a\right)}\)

\(=1-\frac{3a\left(1-a\right)}{\left(1+a\right)\left(2-a\right)}\le1\)

Min tìm tương tự

\(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}=\frac{2a}{2}=a\Rightarrow xy\le a^2\)

Ta có : \(A=\frac{x+y}{xy}\ge\frac{2a}{a^2}=\frac{a}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = a

vậy ....

b: \(T=\frac{2x^4-4x^2+8}{x^4+4}\)

=>\(T\left(x^4+4\right)=2x^4-4x^2+8\)

=>\(T\cdot x^4+4T-2x^4+4x^2-8=0\)

=>\(x^4\cdot\left(T-2\right)+4x^2+4T-8=0\) (1)

Đặt \(a=x^4\)

(1) sẽ trở thành: \(a^2\cdot\left(T-2\right)+4\cdot a+4T-8=0\) (2)

\(\Delta=4^2-4\left(T-2\right)\left(4T-8\right)=16-16\left(T-2\right)\cdot\left(T-2\right)\)

\(=16-16\left(T-2\right)^2\)

Để (2) có nghiệm thì Δ>=0

=>\(16-16\left(T-2\right)^2\ge0\)

=>\(16\left(T-2\right)^2\le16\)

=>\(\left(T-2\right)^2\le1\)

=>-1<=T-2<=1

=>1<=T<=3

Để T có giá trị lớn nhất thì T=3

=>\(2x^4-4x^2+8=3x^4+12\)

=>\(3x^4+12-2x^4+4x^2-8=0\)

=>\(x^4+4x^2+4=0\)

=>\(\left(x^2+2\right)^2=0\) (vô lý)

=>T không có giá trị lớn nhất

a: \(S=\frac{5x^4+4x^2+10}{x^4+2}=5+\frac{4x^2}{x^4+2}\)

Đặt \(A=\frac{4x^2}{x^4+2}\)

=>\(A\left(x^4+2\right)=4x^2\)

=>\(A\cdot x^4-4x^2+2A=0\) (1)

Đặt \(t=x^2\) (ĐK: t>=0)

(1) sẽ trở thành: \(A\cdot t^2-4t+2A=0\) (2)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\cdot A\cdot2A=-8A^2+16\)

Để (2) có nghiệm thì Δ>=0

=>\(-8A^2+16\ge0\)

=>\(8A^2\le16\)

=>\(A^2\le2\)

=>\(-\sqrt2\le A\le\sqrt2\)

=>\(-\sqrt2+5\le A+5\le\sqrt2+5\)

=>\(5-\sqrt2\le S<=5+\sqrt2\)

=>S nhỏ nhất khi \(S=5-\sqrt2\)

=>\(A=-\sqrt2\)

(2) sẽ trở thành: \(t^2\cdot\left(-\sqrt2\right)-4t-2\sqrt2=0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\cdot\left(-\sqrt2\right)\cdot\left(-2\sqrt2\right)=16-4\cdot4=0\)

=>(2) có nghiệm duy nhất là \(t=\frac{4}{2\cdot\left(-\sqrt2\right)}=-\sqrt2\) (loại)

=>S không có giá trị nhỏ nhất

Ta có:\(S=2a+\frac{1}{a^2}\)

\(A=8a+8a+\frac{1}{a^2}-14a\)

\(A\ge3\sqrt[3]{8a\cdot8a\cdot\frac{1}{a^2}}-14\cdot\frac{1}{2}\)

\(A\ge14-7=5\)

"="<=>a=1/2