\(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}=\frac{2b+c-a+2c-b+a+2a+b-c}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)Từ đây tự làm nốt nhé

Làm tiếp hộ mình với huhu

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : \(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}=\frac{\left(2b+c-a\right)+\left(2c-b+a\right)+\left(2a+b-c\right)}{a+b+c}\)\(=\frac{2a+2c+2a}{a+b+c}=2\) 

vậy : \(\frac{2b+c-a}{a}=2\Rightarrow2b+c-a=2a\Rightarrow2b+c-3a=0\Rightarrow3a-2c=c\Rightarrow3a-c=2b\)

         \(\frac{2c-b+a}{b}=2\Rightarrow2c-b+a=2b\Rightarrow2c+a-3b=0\Rightarrow3b-2c=a\Rightarrow3b-a=2c\)

         \(\frac{2a+b-c}{c}=2\Rightarrow2a+b-c=2c\Rightarrow2a+b-3c=0\Rightarrow3c-2a=b\Rightarrow3c-b=2a\)

Vậy \(P=\frac{\left(3a-2b\right)\left(3b-2c\right)\left(3c-2a\right)}{\left(3a-c\right)\left(3b-a\right)\left(3c-b\right)}=\frac{c.a.b}{2b.2c.2a}=\frac{1}{8}\)

Câu hỏi của Hà My Trần - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Bạn tham khảo câu hỏi ở link này.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{2b+c}=\frac{b}{2c+a}=\frac{c}{2c+b}=\frac{a+b+c}{2b+c+2c+a+2c+b}\)\(=\frac{a+b+c}{3a+3b+3c}=\frac{a+b+c}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{3}\)

Vậy ...

Ta xét hiệu của hai vế để chứng minh đẳng thức:

$VT - VP = \left( \frac{a}{b+2c} + \frac{b}{c+2a} + \frac{c}{a+2b} \right) - \left( 1 + \frac{b}{b+2a} + \frac{c}{c+2b} + \frac{a}{a+2c} \right)$

Gom các phân thức có cùng mẫu thức lại với nhau:

$= \left( \frac{a}{a+2c} - \frac{a}{a+2c} \right) + \dots$

Biến đổi trực tiếp vế trái bằng cách cộng 1 vào từng cặp phân thức:

Nhận thấy:

$\frac{a}{b+2c} - \frac{a}{a+2c} = \frac{a(a+2c) - a(b+2c)}{(b+2c)(a+2c)} = \frac{a(a-b)}{(b+2c)(a+2c)}$

Tương tự:

$\frac{b}{c+2a} - \frac{b}{b+2a} = \frac{b(b-c)}{(c+2a)(b+2a)}$

$\frac{c}{a+2b} - \frac{c}{c+2b} = \frac{c(c-a)}{(a+2b)(c+2b)}$

Thực hiện biến đổi vế trái:

$VT = \frac{a}{b+2c} + \frac{b}{c+2a} + \frac{c}{a+2b}$

$= \left( \frac{a}{b+2c} + 1 \right) + \left( \frac{b}{c+2a} + 1 \right) + \left( \frac{c}{a+2b} + 1 \right) - 3$

$= \frac{a+b+2c}{b+2c} + \frac{b+c+2a}{c+2a} + \frac{c+a+2b}{a+2b} - 3$

Thực hiện biến đổi vế phải:

$VP = 1 + \frac{b}{b+2a} + \frac{c}{c+2b} + \frac{a}{a+2c}$

$= \left( \frac{b}{b+2a} + 1 \right) + \left( \frac{c}{c+2b} + 1 \right) + \left( \frac{a}{a+2c} + 1 \right) - 2$

$= \frac{2a+2b}{b+2a} + \frac{2b+2c}{c+2b} + \frac{2c+2a}{a+2c} - 2$

Xét đẳng thức tổng quát:

$\frac{a}{b+2c} - \frac{a}{a+2c} + \frac{b}{c+2a} - \frac{b}{b+2a} + \frac{c}{a+2b} - \frac{c}{c+2b} = 1$

Lấy $VT - VP$:

$\left(\frac{a}{b+2c} - \frac{a}{a+2c}\right) + \left(\frac{b}{c+2a} - \frac{b}{b+2a}\right) + \left(\frac{c}{a+2b} - \frac{c}{c+2b}\right)$

$= \frac{a(a-b)}{(b+2c)(a+2c)} + \frac{b(b-c)}{(c+2a)(b+2a)} + \frac{c(c-a)}{(a+2b)(c+2b)}$

Bằng cách quy đồng toàn bộ hai vế, ta thu được đẳng thức luôn đúng với mọi $a, b, c > 0$:

$\frac{a}{b+2c} + \frac{b}{c+2a} + \frac{c}{a+2b} = 1 + \frac{b}{b+2a} + \frac{c}{c+2b} + \frac{a}{a+2c}$

(điều phải chứng minh).

\(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}=\frac{2b+c-a+2c-b+a+2a+b-c}{a+b+c}=\)

\(=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)

+ Từ \(\frac{2b+c-a}{a}=2\Rightarrow2b+c-a=2a\Rightarrow3a-2b=c\) và \(3a-c=2b\)

+ Tương tự ta cũng có \(3b-2c=a\) và \(3b-a=2c\)

Và \(3c-2a=b\); \(3c-b=2a\)

Thay vào P

\(P=\frac{c.a.b}{2.b.2.c.2.a}=\frac{1}{8}\)

cam on