a) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có 

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(g-g)

b) Ta có: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(cmt)

nên \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có 

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(cmt)

\(\widehat{BAC}\) chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC(c-g-c)

vậy còn câu c và d.

a) Chứng minh $\triangle AEB \sim \triangle AFC$

Xét $\triangle ABC$ nhọn với các đường cao $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$.

Ta có $BE \perp AC$, $CF \perp AB$.

Trong hai tam giác $AEB$ và $AFC$:

- Góc $\widehat{A}$ chung.

- Góc $\widehat{ABE} = \widehat{ACF} = 90^\circ$.

Do đó $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ theo trường hợp góc-góc.

b) Chứng minh $\triangle DEF \sim \triangle ABC$

Gọi $D$ là giao điểm của $AH$ với $BC$, $E$ là chân đường cao từ $B$, $F$ là chân đường cao từ $C$.

Xét tam giác $DEF$ và tam giác $ABC$:

- Góc tại $D$ trong $\triangle DEF$ bằng góc tại $A$ trong $\triangle ABC$.

- Góc tại $E$ trong $\triangle DEF$ bằng góc tại $B$ trong $\triangle ABC$.

Do đó $\triangle DEF \sim \triangle ABC$ theo trường hợp góc-góc.

c) Chứng minh $FC$ là tia phân giác góc $DFE$

Xét tam giác $DFE$, với $F$ là chân đường cao từ $C$ và $FC$ cắt góc $DFE$.

Do tính chất trực tâm và đồng dạng các tam giác, $FC$ chia góc $DFE$ thành hai góc bằng nhau, nên $FC$ là tia phân giác góc $DFE$.

a) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có 

\(\widehat{FAC}\) chung

Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB\cdot AF=AC\cdot AE\)(đpcm)

b)Sửa đề: \(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)

Xét tứ giác BDEA có 

\(\widehat{BEA}=\widehat{BDA}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{BEA}\) và \(\widehat{BDA}\) là hai góc cùng nhìn cạnh BA

Do đó: BDEA là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

hay \(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)(hai góc cùng nhìn cạnh BD)