Kẻ IK⊥AB tại K và IE⊥AC tại E

Xét ΔBKI vuông tại K và ΔBHI vuông tại H có

BI chung

\(\hat{KBI}=\hat{HBI}\)

Do đó: ΔBKI=ΔBHI

=>BK=BH=2cm; IK=IH=1cm

Xét ΔCEI vuông tại E và ΔCHI vuông tại H có

CI chung

\(\hat{ECI}=\hat{HCI}\)

Do đó: ΔCEI=ΔCHI

=>CE=CH=3cm; IE=IH=1cm

=>IE=IK

Xét ΔAKI vuông tại K và ΔAEI vuông tại E có

AI chung

IK=IE

Do đó: ΔAKI=ΔAEI

=>AK=AE và \(\hat{KAI}=\hat{EAI}\)

=>AI là phân giác của góc EAK

=>\(\hat{IAK}=\hat{IAE}=\frac{90^0}{2}=45^0\)

Xét ΔIKA vuông tại K có \(\hat{KAI}=45^0\)

nên ΔKIA vuông cân tại K

=>KA=KI=1cm

=>AE=AK=1cm

AB=AK+KB=1+2=3cm

AC=AE+EC=1+3=4cm

BC=BH+CH=2+3=5cm

Chu vi tam giác ABC là;

AB+AC+BC

=3+4+5

=12(cm)

a:

b: Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra AM là đường trung trực của BC

c: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có

AB=AC
\(\hat{HAB}\) chung

DO đó: ΔAHB=ΔAKC

=>BH=CK

d: ΔAHB=ΔAKC

=>AH=AK

Xét ΔABC có \(\frac{AK}{AB}=\frac{AH}{AC}\)

nên KH//BC

e: Ta có: AK+KB=AB

AH+HC=AC

mà AK=AH và AB=AC

nên KB=HC

Xét ΔKBC vuông tại K và ΔHCB vuông tại H có

KB=HC

BC chung

Do đó: ΔKBC=ΔHCB

=>\(\hat{KCB}=\hat{HBC}\)

=>\(\hat{OBC}=\hat{OCB}\)

=>OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A,O,M thẳng hàng

\(BC=BH+HC=2+8=10\left(cm\right)\)

△ABC vuông tại A có \(BC^2=AB^2+AC^2\\ \Rightarrow AB^2=BC^2-AC^2=10^2-6^2=64\\ \Rightarrow AB=8\left(cm\right)\)

a: Xét ΔCMD vuông tại M và ΔCAB vuông tại A có

góc C chung

=>ΔCMD đồng dạng với ΔCAB

b: Xét ΔBMI vuông tại M và ΔBAC vuông tại A có

góc MBI chung

=>ΔBMI đồng dạng với ΔBAC

=>BM/BA=BI/BC

=>BM*BC=BA*BI

c: ΔCMD đồng dạng với ΔCAB

=>CM/CA=CD/CB

=>CM/CD=CA/CB

=>ΔCMA đồng dạng với ΔCDB

=>S CMA/S CDB=(CA/CB)^2=1/4

=>S CMA=15cm²

1: Xét ΔCAM vuông tại M và ΔCBN vuông tại N có

CA=CB

\(\widehat{ACM}\) chung

Do đó: ΔCAM=ΔCBN

Suy ra: CM=CN; AM=BN

Xét ΔCNK vuông tại N và ΔCMK vuông tại M có 

CN=CM

CK chung

Do đó: ΔCNK=ΔCMK

Suy ra: \(\widehat{NCK}=\widehat{MCK}\)

hay CK là tia phân giác của góc ACB

2: Xét ΔCAB có CN/CA=CM/CB

nên MN//AB

3: AB=10cm

nên AD=DB=5cm

\(CD=\sqrt{12^2-5^2}=\sqrt{119}\left(cm\right)\)

1) Xét \(\Delta CAM\) vuông tại M và \(\Delta CBN\) vuông tại N:

\(\widehat{C}chung.\)

\(AC=BC\) (\(\Delta ABC\) cân tại C).

\(\Rightarrow\) \(\Delta CAM=\) \(\Delta CBN\left(ch-gn\right).\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại C:

BN là đường cao \(\left(BN\perp AC\right).\)

AM là đường cao \(\left(AM\perp BC\right).\)

K là giao điểm của AM; BN (gt).

\(\Rightarrow\) K là trực tâm.

\(\Rightarrow\) CK là đường cao từ đỉnh C.

\(\Rightarrow\) CK là tia phân giác \(\widehat{ACB}\) (Tính chất tam giác cân).

2) \(\Delta CAM=\) \(\Delta CBN\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow CM=CN\) (2 cạnh tương ứng).

\(\Rightarrow\) \(\Delta CNM\) cân tại C.

\(\Rightarrow\) \(\widehat{CNM}=\dfrac{180^o-\widehat{C}}{2}.\)

Mà \(\widehat{CAB}=\dfrac{180^o-\widehat{C}}{2}\) (\(\Delta ABC\) cân tại C).

\(\Rightarrow\) \(\widehat{CNM}=\widehat{CAB}.\)

\(\Rightarrow MN//AB\left(dhnb\right).\)

3) Xét \(\Delta ABC\) cân tại C:

CD là đường cao (cmt).

\(\Rightarrow\) CD là đường trung tuyến (Tính chất tam giác cân).

\(\Rightarrow\) D là trung điểm của AB.

\(\Rightarrow\) \(AD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}10=5\left(cm\right).\)

Xét \(\Delta ACD\) vuông tại D:

\(AC^2=CD^2+AD^2\left(Pytago\right).\\ \Rightarrow12^2=CD^2+5^2.\\ \Rightarrow CD^2=119.\\ \Rightarrow CD=\sqrt{119}\left(cm\right).\)

a: Xét ΔBAC có BC^2=AB^2+AC^2

nên ΔABC vuông tại A

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AH*BC=AB*AC

=>AH*25=15*20=300

=>AH=12(cm)

b: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên BD/CD=AB/AC=3/4

=>BD/BC=3/7; CD/CB=4/7

Xét ΔCAB có DF//AB

nên DF/AB=CD/CB

=>DF/15=4/7

=>DF=60/7(cm)

Xét ΔCAB có DE//AC

nên DE/AC=BD/BC

=>DE/20=3/7

=>DE=60/7(cm)

Xét tứ giác AEDF có

góc AED=góc AFD=góc FAE=90 độ

Do đó: AEDF là hình chữ nhật

=>S AEDF=DE*DF=60/7*60/7=3600/49cm²

Áp dụng hệ thức liên quan tới đường cao vào \(\Delta ABC\), ta có:

\(AH^2=BH.HC\Rightarrow HC=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{2^2}{1}=4\left(cm\right)\)

Mặt khác, áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta BHA\), ta có:

\(AB^2=AH^2+BH^2\Rightarrow AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{2^2+1}=\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức giữa đường cao và các cạnh vào \(\Delta ABC\), ta có:

\(AB.AC=AH.BC\Rightarrow AC=\dfrac{AH.BC}{AB}=\dfrac{2.\left(1+4\right)}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH^2=HB\cdot HC\)

nên \(HC=\dfrac{2^2}{1}=4\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AC^2=HC\cdot BC\)

nên \(AC^2=20\)

hay \(AC=2\sqrt{5}\left(cm\right)\)