Đặt \(\sqrt[3]{3x^2-x+2001}=a;-\sqrt[3]{3x^2-7x+2002}=b;-\sqrt[3]{6x-2003}=c\)

Thì ta có được hệ: \(\hept{\begin{cases}a+b+c=\sqrt[3]{2002}\\a^3+b^3+c^3=2002\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=a^3+b^3+c^3\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

Với  a = - b thì

\(\sqrt[3]{3x^2-x+2001}=\sqrt[3]{3x^2-7x+2002}\)

\(\Leftrightarrow3x^2-x+2001=3x^2-7x+2002\)

\(\Leftrightarrow6x=1\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}\)

Tương tự cho 2 trường hợp còn lại 

\(\Leftrightarrow\)x=\(\frac{1}{6}\)

1,\(\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}=\frac{x+3}{5}\)(đk :\(x\ge\frac{2}{3}\)) (1)

Đặt \(4x+1=a\left(a\ge0\right)\) , \(3x-2=b\left(b\ge0\right)\)

Có \(a-b=4x+1-3x+2=x+3\)

=> \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{5}\)

<=> \(5\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)

<=> \(5\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=0\)

<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+5\right)=0\)

=> \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\)(vì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+5\ge5\) do a,b\(\ge0\))

<=> \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\) <=>\(4x+1=3x-2\) <=> \(x=-3\)(k tm đk)

Vậy pt (1) vô nghiệm

1,\(\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}=\frac{x+3}{5}\) (1) (đk: \(x\ge\frac{2}{3}\))

Đặt \(4x+1=a\left(a\ge0\right)\) ,\(3x-2=b\left(b\ge0\right)\)

=> \(a-b=4x+1-3x+2=x+3\)

Có \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{5}\)

<=> \(5\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=0\)

<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(5-\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=0\)

=> \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{a}=\sqrt{b}\\5=\sqrt{a}+\sqrt{b}\end{matrix}\right.\) <=> \(\left[{}\begin{matrix}4x+1=3x-2\\25=a+b+2\sqrt{ab}\end{matrix}\right.\)<=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-3\left(ktm\right)\\25=a+b+2\sqrt{ab}\end{matrix}\right.\)

=> 25=4x+1+3x-2+\(2\sqrt{\left(4x+1\right)\left(3x-2\right)}\)

<=> 26-7x=2\(\sqrt{12x^2-5x-2}\)

<=> \(676-364x+49x^2=48x^2-20x-8\)

<=> \(676-364x+49x^2-48x^2+20x+8=0\)

<=> \(x^2-344x+684=0\)

<=> \(x^2-342x-2x+684=0\)

<=> \(x\left(x-342\right)-2\left(x-342\right)=0\)

<=> (x-2)(x-342)=0

=> \(\left[{}\begin{matrix}x=2\left(tm\right)\\x=342\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy pt (1) có nghiệm x=2

Sorry thiếu với \(\forall m\inℝ\)

với cả  : P(x) = ax² + bx +c , a khác 0

ĐKXĐ: \(\begin{cases}3x^2-7x+3\ge0\\ x^2-3x+4\ge0\\ x^2-2\ge0\\ 3x^2-5x-1\ge0\end{cases}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x\le-\sqrt2\\ x\ge\frac{5+\sqrt{37}}{6}\end{array}\right.\)

BPT =>\(\sqrt{3x^2 - 7x + 3} - \sqrt{3x^2 - 5x - 1} > \sqrt{x^2 - 2} - \sqrt{x^2 - 3x + 4}\)

=>\(\dfrac{(3x^2 - 7x + 3) - (3x^2 - 5x - 1)}{\sqrt{3x^2 - 7x + 3} + \sqrt{3x^2 - 5x - 1}} > \dfrac{(x^2 - 2) - (x^2 - 3x + 4)}{\sqrt{x^2 - 2} + \sqrt{x^2 - 3x + 4}}\)

=>\(\dfrac{-2x + 4}{\sqrt{3x^2 - 7x + 3} + \sqrt{3x^2 - 5x - 1}}>\dfrac{3x - 6}{\sqrt{x^2 - 2} + \sqrt{x^2 - 3x + 4}}\)

=>\(\dfrac{-2(x - 2)}{\sqrt{3x^2 - 7x + 3} + \sqrt{3x^2 - 5x - 1}}-\dfrac{3(x - 2)}{\sqrt{x^2 - 2} + \sqrt{x^2 - 3x + 4}}>0\)

=>\((x-2)\left[\dfrac{-2}{\sqrt{3x^2 - 7x + 3} + \sqrt{3x^2 - 5x - 1}}-\dfrac{3}{\sqrt{x^2 - 2} + \sqrt{x^2 - 3x + 4}}\right]>0\)

=>\((x - 2) \left[ \dfrac{2}{\sqrt{3x^2 - 7x + 3} + \sqrt{3x^2 - 5x - 1}} + \dfrac{3}{\sqrt{x^2 - 2} + \sqrt{x^2 - 3x + 4}} \right] < 0\)

=>x-2<0

=>x<2

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(\left[\begin{array}{l}x\le-\sqrt2\\ \frac{5+\sqrt{37}}{6}\le x<2\end{array}\right.\)

Vậy: \(S = (-\infty, -\sqrt{2}] \cup \left[\dfrac{5+\sqrt{37}}{6}, 2\right)\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[3]{3x^2-x+2001}=a\\\sqrt[3]{3x^2-7x+2002}=b\\\sqrt[3]{6x-2003}=c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^3-b^3-c^3=2002\) từ đây ta có:

\(a-b-c=\sqrt[3]{a^3-b^3-c^3}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b-c\right)^3=\sqrt[3]{a^3-b^3-c^3}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(a-b\right)\left(b+c\right)=0\)

Tự làm nốt nhé

Xem lại đề nhé bạn: \(\sqrt[3]{6x-2003}\) mới đúng chứ nhỉ?

Trước tiên ta chứng minh:

\(-2005x\sqrt{4-4x}\le2005\left(x^2-x+1\right)\)

Với \(x\ge0\)thì bất đẳng thức đúng.

Với \(x< 0\)

\(\left(-x\sqrt{4-4x}\right)^2\le\left(x^2-x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x-1\right)^2\ge0\)đúng

Quay lại bài toán ta có:

\(\left(x-x^2\right)\left(x^2+3x+2007\right)-2005x\sqrt{4-4x}=30\sqrt[4]{x^2+x-1}+2006\ge2006\)

\(\Leftrightarrow2006\le\left(x-x^2\right)\left(x^2+3x+2007\right)-2005x\sqrt{4-4x}\le\left(x-x^2\right)\left(x^2+3x+2007\right)+2005\left(x^2-x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x-1\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow x^2+x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

PS: Để số 2008 t không giải ra nên thay số 2006 giải được. Chắc bác chép nhầm đề.

$(x-x^2)(x^2+3x+2007)-2005x\sqrt{4-4x}=30\sqrt[4]{x^2+x-1}+2006$ - Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình - Diễn đàn Toán học