Do a,b,c chia hết cho 5 nên a⁵,b⁵,c⁵ chia hết cho 5

Suy ra a⁵+b⁵+c⁵ chia hết cho 5

b1

Các số tự nhiên chia hết cho 3 có số dư là n;n+1;n+2

Nếu \(n⋮3\Leftrightarrow n\left(n+1\right)\left(n+5\right)⋮3\)

Nếu \(n+1⋮3\Leftrightarrow n\left(n+1\right)\left(n+5\right)⋮3\)

Nếu \(n+2⋮3\Leftrightarrow n\left(n+1\right)\left(n+5\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2+3\right)\)

Mà \(3⋮3\)\(\Rightarrow n+2+3⋮3\)  \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2+3\right)⋮3\)

Hay \(n\left(n+1\right)\left(n+5\right)⋮3\)

Vậy \(n\left(n+1\right)\left(n+5\right)⋮3\forall n\in N\)

Bài 5.

Vì \(a\) chia hết cho \(c\) nên tồn tại số nguyên \(k\) sao cho \(a=kc\).

Vì \(b\) chia hết cho \(c\) nên tồn tại số nguyên \(h\) sao cho \(b=hc\).

Ta có:

\(ma+nb=m.kc+n.hc\)

\(=c(mk+nh)\)

Vì \(m,n\in\mathbb{N}\) và \(k,h\) là các số nguyên nên \(mk+nh\) là số nguyên.

Suy ra \(ma+nb\) chia hết cho \(c\).

Tương tự:

\(ma-nb=m.kc-n.hc\)

\(=c(mk-nh)\)

Vì \(mk-nh\) là số nguyên nên \(ma-nb\) chia hết cho \(c\).

Vậy \(ma+nb\) và \(ma-nb\) đều chia hết cho \(c\).

Bài 6.

a) Chứng minh tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là \(n,\ n+1,\ n+2\) (với \(n\in\mathbb{N}\)).

Tổng của ba số đó là:

\(n+(n+1)+(n+2)\)

\(=3n+3\)

\(=3(n+1)\)

Vì \(n+1\) là số tự nhiên nên \(3(n+1)\) chia hết cho 3.

Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.

b) Chứng minh tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5.

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là \(n,\ n+1,\ n+2,\ n+3,\ n+4\) (với \(n\in\mathbb{N}\)).

Tổng của 5 số đó là:

\(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)\)

\(=5n+10\)

\(=5(n+2)\)

Vì \(n+2\) là số tự nhiên nên \(5(n+2)\) chia hết cho 5.

Vậy tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5.

Gọi số cần tìm là abc, ta có:
Vì abc \(⋮\) 5 và 9
=> abc \(⋮\) BC(5, 9)
5 = 5
9 = 3²
=> BCNN(5, 9) = 5 . 3² = 40
=> BC(5, 9) = B(40) = {0; 40; 80; 120; 160; 200; 240; 280; 320; 360; 420; 460; 500; 540; 580; 620; 660; 700; 740; 780; 820; 860; 900; 940; 980; 1020;...}
mà abc là số có 3 chữ số (tđb)
=> abc \(\in\) {120; 160; 200; 240; 280; 320; 360; 420; 460; 500; 540; 580; 620; 660; 700; 740; 780; 820; 860; 900; 940; 980}
mà abc : 11 dư 5 (tđb)
=> abc - 5 \(⋮\) 11
=> abc - 5 \(\in\) {115; 155; 195; 235; 275; 315; 355; 415; 455; 495; 535; 575; 615; 655; 695; 735; 775; 815; 855; 895; 935; 975}
trong dãy số trên, ta thấy thấy 275; 495 \(⋮\) 11
=> abc - 5 \(\in\) {275; 495}
=> abc \(\in\) {280; 500}

Theo bài ra ta có :

a = m.k ;          b = m.n;         a + b + c = m.d  (k; n; d \(\in\) Z)

⇒ c = m.d - (a+b) 

⇒a + b = m.k + m.n = m(k+n) 

Thay a + b = m(k+n) vào biểu thức c = m.d - (a+b) ta có:

c = m.d - m(k+n)

c = m.( d-k-n) Vì d,k,n \(\in\) Z nên => c ⋮ m (đpcm)