Ta có: \(S=3^2+3^3+\cdots+3^{2023}\)

\(=\left(3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7\right)+\left(3^8+3^9+3^{10}+3^{11}+3^{12}+3^{13}\right)+\cdots+\left(3^{2018}+3^{2019}+3^{2020}+3^{2021}+3^{2022}+3^{2023}\right)\)

\(=\left(3^2+3^3+\ldots+3^7\right)+3^6\left(3^2+3^3+\cdots+3^7\right)+\cdots+3^{2016}\left(3^2+3^3+\cdots+3^7\right)\)

\(=\left(3^2+3^3+\cdots+3^7\right)\left(1+3^6+\cdots+3^{2016}\right)\)

\(=3276\cdot\left(1+3^6+\cdots+3^{2016}\right)\) ⋮156

Số các số hạng là: 101 – 0 + 1 = 102 số.
Ta nhận thấy:
1 + 3 + 32 = 1 + 3 + 9 = 13;
33 + 34 + 35 = 33(1 + 3 + 32) = 33.13;
…
Mà 102 có tổng các chữ số là 1 + 0 + 2 = 3 chia hết cho 3 nên 102 chia hết cho 3, nghĩa là:
A = (1 + 3 + 32) + (33 + 34 + 35) + … + (399 + 3100 + 3101)
= (1 + 3 + 32) + 33(1 + 3 + 32) + … + 399(1 + 3 + 32)
= 13 + 33.13 + … + 399.13
= 13.(1 + 33 + … + 399) chia hết cho 13.
Vậy A chia hết cho 13.

A =3+3²+3³+...+3¹¹⁹

A=(3+3²)+(3³+3⁴)+...(3¹¹⁸+3¹¹⁹)

A=3.(1+3)+3³.(1+3)+...+3¹¹⁸.(1+3)

A=3.4+3³.4+...+3¹¹⁸.4

A=4.(3+3³+...+3¹¹⁸)\(⋮\)4

=>A\(⋮\)4

A=3+3²+3³+...+3¹¹⁹

A=(3+3²+3³)+...+(3¹¹⁷+3¹¹⁸+3¹¹⁹)

A=3.(1+3+9)+...+3¹¹⁷.(1+3+9)

A=3.13+...+3¹¹⁷.13

A=13.(3+...+3¹¹⁷)\(⋮\)13

vì   A\(⋮\)4

và  A\(⋮\)13

=>A\(⋮\)4.13

=>A\(⋮\)52

vậy A\(⋮\)4 và A\(⋮\)52

Ta có:

5n³ + 15n² + 10n

= 5n.(n² + 3n + 2)

= 5n.(n² + n + 2n + 2)

= 5n.[n.(n + 1) + 2.(n + 1)]

= 5n.[(n + 1).(n + 2)]

= 5.n.(n + 1).(n + 2)

Vì n.(n + 1).(n + 2) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 2 và 3

Mà (2;3)=1 => n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 6

=> 5.n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 30

=> 5n³ + 15n² + 10n chia hết cho 30 (đpcm)

\(5n^3+15n^2+10n=5n\left(n^2+3n+2\right)=5n\left[\left(n^2+n\right)+\left(2n+2\right)\right]=5n\left[n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]=5n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

thấy n (n + 1) (n + 2) là tích 3 số nguyên liên tiếp

=> có 1 số chia hết cho 2     ( n(n+1) tích 2 số liên tiếp )

=> có 1 số chia hết cho 3     ( n(n+1)(n+2) là tích 3 số liên tiếp)

=>  n(n+1)(n+2) chia hết cho 2.3  =>  n(n+1)(n+2) chia hết cho 6

=> 5n(n+1)(n+2) chia hết cho 30  (đpcm)

mình cần câu hỏi này

5n^3 + 15n^2 +10n

=(5n^3 + 15n^2+ 10n) 

= 30n^6 chia hết cho 30

Ta có : 5n³+15n²+10n

=5n(n²+3n+2)

Ta thấy : 5 chia hết cho 30 

Hay : 5n chia hết cho 30

Vậy đpcm