Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{S}\le12\Leftrightarrow\sqrt{S}\le6\Rightarrow S\le36\)

Dấu = xảy ra khi x=y=6

TH1: y=0

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(x^2-x+1=3^0=1\)

=>\(x^2-x=0\)

=>x(x-1)=0

=>x=0(nhận) hoặc x=1(nhận)

TH2: y=1

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(x^2-x+1=3\)

=>\(x^2-x-2=0\)

=>(x-2)(x+1)=0

=>x=2(nhận) hoặc x=-1(loại)

TH3: y>=2

=>\(3^{y}\) chia hết cho 9

=>\(x^2-x+1\) cũng phải chia hết cho 9

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(4x^2-4x+4=4\cdot3^{y}\)

=>\(4x^2-4x+1=4\cdot3^{y}-3\)

=>\(\left(2x-1\right)^2=3\left(4\cdot3^{y-1}-1\right)\)

Vì \(4\cdot3^{y-1}-1\) không chia hết cho 3 khi y>=2

nên \(3\left(4\cdot3^{y-1}-1\right)\) không chia hết cho 9 khi y>=2

=>\(\left(2x-1\right)^2\) không chia hết cho 9 khi y>=2

=>Loại

TH1: y=0

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(x^2-x+1=3^0=1\)

=>\(x^2-x=0\)

=>x(x-1)=0

=>x=0(nhận) hoặc x=1(nhận)

TH2: y=1

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(x^2-x+1=3\)

=>\(x^2-x-2=0\)

=>(x-2)(x+1)=0

=>x=2(nhận) hoặc x=-1(loại)

TH3: y>=2

=>\(3^{y}\) chia hết cho 9

=>\(x^2-x+1\) cũng phải chia hết cho 9

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(4x^2-4x+4=4\cdot3^{y}\)

=>\(4x^2-4x+1=4\cdot3^{y}-3\)

=>\(\left(2x-1\right)^2=3\left(4\cdot3^{y-1}-1\right)\)

Vì \(4\cdot3^{y-1}-1\) không chia hết cho 3 khi y>=2

nên \(3\left(4\cdot3^{y-1}-1\right)\) không chia hết cho 9 khi y>=2

=>\(\left(2x-1\right)^2\) không chia hết cho 9 khi y>=2

=>Loại

 Bài 1: Bài này số nhỏ nên chỉ cần chặn miền giá trị của \(x\) rồi xét các trường hợp thôi nhé. Ta thấy \(3^x< 35\Leftrightarrow x\le3\). Nếu \(x=0\) thì \(VT=2\), vô lí. Nếu \(x=1\) thì \(VT=5\), cũng vô lí. Nếu \(x=2\) thì \(VT=13\), vẫn vô lí. Nếu \(x=3\) thì \(VT=35\), thỏa mãn. Vậy, \(x=3\).

 Bài 2: Nếu \(x=0\) thì pt đã cho trở thành \(0!+y!=y!\Leftrightarrow0=1\), vô lí,

Nếu \(x=y\) thì pt trở thành \(2x!=\left(2x\right)!\) \(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(x+2\right)...\left(2x\right)=2\) \(\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1\)

Nếu \(x\ne y\) thì không mất tính tổng quát, giả sử \(1< y< x\) thì \(x!+y!< 2x!\le\left(x+1\right)x!=\left(x+1\right)!< \left(x+y\right)!\) nên pt đã cho không có nghiệm trong trường hợp này.

Như vậy, \(x=y=1\)

 Bài 3: Bổ sung đề là pt không có nghiệm nguyên dương nhé, chứ nếu nghiệm nguyên thì rõ ràng \(\left(x,y\right)=\left(0,19\right)\) là một nghiệm cũa pt đã cho rồi.

Giả sử pt đã cho có nghiệm nguyên dương \(\left(x,y\right)\)

Khi đó \(x,y< 19\). Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử \(1< y\le x< 19\). Khi ấy \(x^{17}+y^{17}=19^{17}\ge\left(x+1\right)^{17}=x^{17}+17x^{16}+...>x^{17}+17x^{16}\), suy ra \(y^{17}>17x^{16}\ge17y^{16}\) \(\Rightarrow y>17\). Từ đó, ta thu được \(17< y\le x< 19\) nên \(x=y=18\). Thử lại thấy không thỏa mãn. 

Vậy pt đã cho không có nghiệm nguyên dương.

Chị độc giải sau khi em biết làm thôi à.

Vì 10 = 2 * 5 = 1 * 10 nên có các trường hợp sau
- Trường hợp 1: 2x + 1 = 10, y - 3 = 1 (loại, vì 2x + 1 lẻ)

- Trường hợp 2: 2x + 1 = 1, y - 3 = 10 => x = 0, y = 13

- Trường hợp 3: 2x + 1 = 2, y - 3 = 5 (loại)

- Trường hợp 4: 2x + 1 = 5, y - 3 = 2 => x = 2, y = 5

Vậy cặp số cho tích xy lớn nhất là (2,5)

\(\left(2x+1\right)\left(y-3\right)=10<=>2x+1;y-3\inƯ\left(10\right)\)

Cặp số (x;y) có tích lớn nhất là:(5;2) có tích bằng 10

xy+2x+y=18

=>x(y+2)+y+2=20

=>(x+1)(y+2)=20

mà y+2>=2 với mọi y là số tự nhiên và x+1>=1 với mọi x là số tự nhiên

nen (x+1;y+2)∈{(1;20);(2;10);(4;5);(5;4);(10;2)}

=>(x;y)∈{(0;18);(1;8);(3;3);(4;2);(9;0)}