Xét ΔABC có \(cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{4^2+5^2-6^2}{2\cdot4\cdot5}=\frac{16+25-36}{8\cdot5}=\frac{5}{8\cdot5}=\frac18\)

\(cosC=\frac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\cdot CA\cdot CB}\)

\(=\frac{5^2+6^2-4^2}{2\cdot5\cdot6}=\frac{25+36-16}{2\cdot5\cdot6}=\frac{45}{2\cdot30}=\frac{3}{2\cdot2}=\frac34\)

\(2\cdot cos^2C-1=cos2C\)

=>\(cos\left(2C\right)=2\cdot\left(\frac34\right)^2-1=2\cdot\frac{9}{16}-1=\frac98-1=\frac18=cosA\)

=>\(\hat{A}=2\cdot\hat{C}\)

a. △ABC cân tại A, lại có AH là đường cao

=> AH cũng là đường trung tuyến, đường phân giác

=> HB = HC và \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)

b. ta có: \(HB=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\cdot6=3\left(cm\right)\)

áp dụng định lý pythagore vào △BAH vuông tại H ta có:

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}\left(cm\right)\)

c. xét △ vuông HMB và △ vuông HNC có

HB = HC (gt); \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)  (△ABC cân tại A)

=> △HMB = △HNC (ch-gn)

=> HM = HN (2 cạnnh tương ứng)

=> △MHN là △ cân (tại H)

a) Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

a: Xét ΔABC và ΔCBD có

AB/CB=BC/BD

góc B chung

=>ΔABC đồg dạng với ΔCBD

b: ΔABC đồng dạng với ΔCBD

=>AC/CD=BC/BD=6/9=2/3

=>7/CD=2/3

=>CD=7:2/3=7*3/2=21/2(cm)

c: CF/FD=BC/BD

EA/CE=BA/BC

mà BC/BD=BA/BC

nên CF/FD=EA/CE
=>CF*CE=FD*EA

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay BC=10(cm)

Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{AD}{6}=\dfrac{CD}{10}\)

mà AD+CD=AC(D nằm giữa A và C)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{6}=\dfrac{CD}{10}=\dfrac{AD+CD}{6+10}=\dfrac{AC}{16}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AD}{6}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{CD}{10}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=3\left(cm\right)\\CD=5\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: BC=10cm; AD=3cm; CD=5cm

b) Ta có: \(\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\)

Do đó: \(\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CD}{CB}\)

Xét ΔCED và ΔCAB có 

\(\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CD}{CB}\)(cmt)

\(\widehat{C}\) chung

Do đó: ΔCED\(\sim\)ΔCAB(c-g-c)

a) Chứng minh HB=HC:                                                                              Xét ΔAHB và ΔAHC có:                                                                         ∠AHB=∠AHC=90(độ)                                                                                   AH cạnh chung                                                                                             AB=AC(gt)                                                                                                     ⇒ ΔAHB = ΔAHC (ch-cgv)  ⇒ HB=HC (2 cạnh tương ứng)

b) Ta có: HB=HC=BC/2=6/2=3(cm)                                                              Ta có: ΔAHB vuông tại H.                                                                              ⇒ AH(mũ 2)+BH(mũ 2)=AB(mũ 2) ⇒ AH(mũ 2)=AB(mũ 2)-BH(mũ 2)          =4(mũ 2)-3(mũ 2)=16-9=7 ⇒ AH=√7(cm) 

c)                                                                                                                  Ta có: ΔAHB = ΔAHC ⇒ ∠BAH=∠CAH                                                      Xét ΔAHD và ΔAHE có:                                                                              ∠D=∠E=90(độ)                                                                                          AH cạnh chung                                                                                             ∠BAH=∠CAH (gt)                                                                                        ⇒ ΔAHD = ΔAHE (ch-gn) ⇒ DH=EH ⇒ ΔHDE cân tại H. A B C H D E

a: BC=10cm

b: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có 

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\)

Do đó: ΔHAB∼ΔHCA