xét a² + (a+1)² =2a² +2a +1 >2a² +2a=2a(a+1)

\(\frac{1}{a^2+\left(a+1\right)^2}<\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{a\cdot\left(a+1\right)}\)

áp dụng A< \(\frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{2008}\right)<\frac{1}{2}\)

bạn bt rùi sao còn kêu tụi mình cm chi nữa

mk đã bk dou bn

Ta có công thức: \(1+n^2+\frac{n^2}{\left(n+1\right)^2}=\left(1+n-\frac{n}{n+1}\right)^2\)

Chứng minh công thức: \(\left(1+n-\frac{n}{n+1}\right)^2\)

\(=1^2+n^2+\frac{n^2}{\left(n+1\right)^2}+2n-\frac{2n}{n+1}-\frac{2n^2}{n+1}\)

\(=1+n^2+\frac{n^2-2n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)^2-2n\left(n+1\right)}{\left(n+1\right)^2}\)

\(=1+n^2+\frac{n^2-2n^3-2n^2+2n\left(n^2+2n+1\right)-2n^2-2n}{\left(n+1\right)^2}\)

\(=1+n^2+\frac{-2n^3-3n^2-2n+2n^3+4n^2+2n}{\left(n+1\right)^2}=1+n^2+\frac{n^2}{\left(n+1\right)^2}\)

\(A=\sqrt{1+2008^2+\frac{2008^2}{2009^2}}+\frac{2008}{2009}\)

\(=1+2008-\frac{2008}{2009}+\frac{2008}{2009}\)

=2009

=>A là số tự nhiên

Xét B=1+1/2+1/3+...+1/2008=(1+1/2008)+(1/2+1/2007)+...(1004+1005)

=2009/1.2008+2009/2.2007+...+2009/1004.1005=2009.(1/1.2008+1/2.2007+...+1/1004.1005

Quy đồng mẫu số các phân số trong ngoặc:Gọi k1 là thừa số phụ  của 1/1.2008;...;k1004 là thừa số phụ của 1/1004.1005

=>B=2009.k1+k2+...+k1004/1.2.3...2007.2008

=>1.2.3...2007.2008.2009.k1+k2+...+k1004/1.2.3...2007.2008=2009.(k1+k2+...+k1004)

Tổng k1+k2+...+k1004 là số tự nhiên =>A chia hết cho 2009

Cho một đúng nha

mơn bạn nhiều lắm giải quyết cho mk bài dưới luôn đi