Ta có: \(\frac{x}{x+y+z}>\frac{x}{x+y+z+t}\)

\(\frac{y}{x+y+t}>\frac{y}{x+y+z+t}\)

\(\frac{z}{y+z+t}>\frac{z}{x+y+z+t}\)

\(\frac{t}{x+z+t}>\frac{t}{x+y+z+t}\)

=>\(M=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}>\frac{x}{x+y+z+t}+\frac{y}{x+y+z+t}+\frac{z}{x+y+z+t}+\frac{t}{x+y+z+t}\)

=>\(M>\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}=1\)

=>M>1(1)

Lại có: 

Áp dụng tính chất: Nếu \(\frac{a}{b}<1=>\frac{a}{b}<\frac{a+m}{b+m}\)

Ta có: \(\frac{x}{x+y+z}<\frac{x+t}{x+y+z+t}\)

\(\frac{y}{x+y+t}<\frac{y+z}{x+y+z+t}\)

\(\frac{z}{y+z+t}<\frac{z+x}{x+y+z+t}\)

\(\frac{t}{x+z+t}<\frac{t+y}{x+y+z+t}\)

=>\(M=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}<\frac{x+t}{x+y+z+t}+\frac{y+z}{x+y+z+t}+\frac{z+x}{x+y+z+t}+\frac{t+y}{x+y+z+t}\)

=>\(M<\frac{2.\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}=2\)

=>M<2(2)

Từ (1) và (2)

=>1<M<2

=>M không là số tự nhiên

=>ĐPCM

nhan vao chu dung 0 se co cach giai

4 hả thử coi nếu đúng tớ ghi cách giải

\(x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}=\frac{y-z}{yz}\\x-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}\\y-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}=\frac{z-x}{xz}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)=\frac{\left(y-z\right)\left(y-x\right)\left(z-x\right)}{\left(xyz\right)^2}\)

\(\Rightarrow\left(xyz\right)^2=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}xyz=1\\xyz=-1\end{cases}}\).

a. Tính giá trị biểu thức $A = \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}$:

Từ giả thiết: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$

Quy đồng mẫu thức:

$\Rightarrow \frac{yz + xz + xy}{xyz} = 0$

$\Rightarrow xy + yz + zx = 0$

Khai triển tử thức của $A$:

$(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z)(xy + yz + zx) - xyz$

Thay $xy + yz + zx = 0$ vào biểu thức trên:

$(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z) \cdot 0 - xyz = -xyz$

Do đó: $A = \frac{-xyz}{xyz} = -1$

Vậy $A = -1$.

b. Chứng minh $A = \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(c-a)^2}$ là bình phương của một số hữu tỉ:

Đặt $x = a - b$, $y = b - c$, $z = c - a$.

Ta có: $x + y + z = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0$.

Xét đẳng thức:

$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2\left(\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx}\right)$

Biến đổi phần trong ngoặc kép:

$\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = \frac{z + x + y}{xyz}$

Vì $x + y + z = 0$ nên $\frac{z + x + y}{xyz} = 0$.

Suy ra:

$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}$

Thay lại $x = a - b$, $y = b - c$, $z = c - a$:

$A = \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(c-a)^2} = \left(\frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a}\right)^2$

Vì $a, b, c$ là các số hữu tỉ khác nhau từng đôi một nên $\frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a}$ là một số hữu tỉ.

Vậy $A$ là bình phương của một số hữu tỉ (điều phải chứng minh).

Đặt A=x/x+y+z + y/x+y+t + z/y+z+t +t/x+z+t

-Chứng minh biểu thức nhỏ hơn 2 .

Ta có: A<x+t/x+y+z+t + y+z/x+y+t+z + z+x/y+z+t+x + t+y/x+t+y+z

A<x+t+y+z+z+x+t+y/x+y+t+z

A<2(x+t+y+z)/x+y+t+z

A<2

-Chứng minh biêu thức lớn hơn 1

A>x/x+y+t+z + y/x+y+t+z + t/x+y+z+t + z/x+y+t+z

A>x+y+t+z/z+x+y+t

A>1

Mà 1<A<2

Suy ra A không phải là STN

Có gì sai thì bạn sửa nhé