Ta luôn có:

\(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)\(=3\); dấu "=" xảy ra ⇔\(x=y=z\)

\(x\le\frac{x^2+1}{2}\); dấu "=" xảy ra ⇔ \(x=1\)

\(y\le\frac{y^2+1}{2}\); dấu "=" xảy ra ⇔ \(y=1\)

\(z\le\frac{z^2+1}{2}\); dấu "=" xảy ra ⇔ \(z=1\)

Suy ra: \(x+y+z\le\frac{x^2+y^2+z^2+3}{2}=\frac{6}{2}=3\)

Do đó: \(P_{max}=xy+yz+zx+\frac{5}{x+y+z}\le3+\frac{5}{3}=\frac{14}{3}\)

Dấu "=" xảy ra ⇔ x=y=z=1

cũng bằng 3

Ta coˊ :xy+x+1x​+yz+y+1y​+xz+z+1z​

=���+�+1+�����+��+�+����2��+���+��=xy+x+1x​+xyz+xy+xxy​+x2yz+xyz+xyxyz​

=���+�+1+����+�+1+1��+�+1(Vıˋ ���=1)=xy+x+1x​+xy+x+1xy​+xy+x+11​(V

cái này mik chịu, mik mới có lớp 7

1. Ta có \(\left(b-a\right)\left(b+a\right)=p^2\)

Mà b+a>b-a ; p là số nguyên tố 

=> \(\hept{\begin{cases}b+a=p^2\\b-a=1\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}b=\frac{p^2+1}{2}\\a=\frac{p^2-1}{2}\end{cases}}\)

Nhận xét :+Số chính phương chia 8 luôn dư 0 hoặc 1 hoặc 4

Mà p là số nguyên tố 

=> \(p^2\)chia 8 dư 1

=> \(\frac{p^2-1}{2}⋮4\)=> \(a⋮4\)(1)

+Số chính phương chia 3 luôn dư 0 hoặc 1

Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3

=> \(p^2\)chia 3 dư 1

=> \(\frac{p^2-1}{2}⋮3\)=> \(a⋮3\)(2)

Từ (1);(2)=> \(a⋮12\)

Ta có \(2\left(p+a+1\right)=2\left(p+\frac{p^2-1}{2}+1\right)=p^2+1+2p=\left(p+1\right)^2\)là số chính phương(ĐPCM)

Bài 4:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{x}{y+z+1}=\frac{y}{x+z+2020}=\frac{z}{x+y-2021}=\frac{x+y+z}{y+z+1+x+z+2020+x+y-2021}=\frac{x+y+z}{2\left(x+y+z\right)}=\frac12\)

=>y+z+1=2x; x+z+2020=2y; x+y-2021=z

=>y+z=2x-1; x+z=2y-2020; x+y=z+2021

\(\frac{x}{y+z+1}=x+y+z\)

=>\(x+y+z=\frac12\)

=>\(x+2x-1=\frac12\)

=>\(3x=\frac32\)

=>x=1/2

x+y+z=1/2

=>\(2y-2020+y=\frac12\)

=>3y=1/2+2020=2020,5

=>y=673,5

x+y+z=1/2

=>z+2021+z=1/2

=>2z=1/2-2021=-2020,5

=>z=-1010,25

Tham khảo lời giải tải đây nha : http://123link.vip/TJMUnni

v cả tham khảo =.=